合肥市2020届高三第三次教学质量检测数学试题(文科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 答案 1 B 2 C 3 B 4 B 5 D 6 C 7 B 8 A 9 D 10 C 11 A 12 D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.2e2 14.480 15.4 16.①②④
三、解答题：本大题共6小题，满分70分.
17.(本小题满分12分)
110?内的天数为 解：(1)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数在区间?90，??7711??30???????20???30?2天，
??300600100600??空气质量等级为优或良，即空气质量指数不超过100，
1?114?. 3015………………………6分 ??771????(2)由题中图表可知，在这30天中，空气质量指数不高于90有?? ??20??30?27(天)，??300600100??∴在这30天中随机抽取一天，其空气质量等级是优或良的概率为P?1?∴某市民在这个月内，有27天适宜进行户外体育运动. ………………………12分
18.(本小题满分12分)
解：(1)∵四边形A1ACC1是菱形，∴AC∥A1C1. 又∵AC?平面ABC，AC11?平面ABC，∴A1C1∥平面ABC. 同理得，B1C1∥平面ABC.
∵A1C1，B1C1?平面A1B1C1，且A1C1B1C1?C1， ∴平面ABC∥平面A1B1C1. 又∵A1B1?平面A1B1C1，
∴A1B1∥平面ABC. ………………………………5分 (2)∵AC∥A1C1，B1C1∥BC，∴?AC11B1??ACB?60. ∵AC11?AC?2，2B1C1?BC?2， 133∴S?A1B1C1??1?2?. ?222?3AC1， 在菱形A1ACC1中，∵AC13?23. 2∵平面ABC⊥平面ACC1，取AC的中点为M，连接BM，C1M，
∴?ACC1?60，SA1ACC1?2?2?∴BM⊥平面ACC1，C1M⊥平面ABC. 由(1)知，平面ABC∥平面A1B1C1， ∴点B到平面A1B1C1的距离为C1M?3. 又∵点B到平面A1ACC1的距离为BM?3，连接BC1， 则V?VB?ABC?VB?AACC????11111?1?35?23??3?. ………………………………12分 ?3?22?
19.(本小题满分12分)
????2k????4???解：(1)由已知得????????2k?(k?Z)，解得?2?8?????，
?????4???2∴f?x??2sin???2x???4??. ……………………………6分
(2)由题意得，g?x??2sin???x???4??.
∵x??0，??，∴x??4????5???4， 4??， ∴sin?????2?x?4?????2， 1??， ??∴g?x?的值域为???1， 2??. ……………………………12分
20.(本小题满分12分)
解：设点P?x0，y0?，A?x1，y1?，B?x2，y2?. (1)∵直线l经过坐标原点，∴x2??x1，y2??y1.
∵x2204?y2，∴y2x00?10?1?4. 2同理得，y2?1?x114.
x2?x2201221???1??????x0x21?∴???k?44??PA?kPB?y0?y1y0?y1y0?y14??4?x???22?22?0?x1x0?x1x0?x1x0?x1x2x2??1， 0?14∴直线PA与直线PB的斜率之积为定值. ……………………………6分
(2)设线段AB的中点为Q?x，y?，则OA?OB?2OQ. ∵OA?OB?OP?0，∴OP??2OQ，则??x0??2x?y0??2y.
将??x??2x代入x200?y?y20?1得，x2?4y2?1，0??2y4
∴线段AB的中点Q的轨迹方程为x2?4y2?1.
同理，线段AP和线段BP中点的轨迹方程也为x2?4y2?1.
∴?ABP三边的中点在同一个椭圆x2?4y2?1上. ……………………………12分
21.(本小题满分12分)
解：(1)F??x??ex?e?x?a.
当a?2时，F??x??ex?e?x?a?2?a?0恒成立，F?x?在R上单调递增. 当a?2时，由F??x??0得，ex?a?a2?4a?a2?42，∴x?ln2. ??a?a2?4??a?a2∴Fx?在????， ln?和?ln?4， ????上单调递增，
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2
在???lna?a2?4， lna?a2?4??上单调递减. …………………………………5分 ?22??(2)①由(1)知，当x?1时，F?x??F?1??0，即当x?1时，曲线C1恒在C2上方.
按题意有，f?xn??g?xn?1?，即exn?e?xn?2xn?exn?e?xn?1，∴xn?12. exn?e?xnex②由①知nxn?1?2?2. 注意到x1?1，
x∴nxex1n?1?xn??x2?xexn?1n?1?xn??xe2?x1?2?2??2， n∴xn?1?xn??x?x?1?xn?1??x121???2???exn?，
两边同取自然对数得，lnxn?1?lnxn??lnx2?lnx1?nln12??xn?xn?1??x1?，
即Sn?Tn?1?nln2. …………………………………………12分
22.(本小题满分10分)
(1)曲线E的直角坐标方程为?x+1?2?y2?4，
直线m的极坐标方程为???(??R). ………………………………5分 (2)设点A，C的极坐标分别为??1，??，??2，??.
由???=?2??2+2?cos??3?0得，?+2?cos??3?0， ∴?1??2??2cos?，?1?2??3， ∴AC??1??2?2cos2??3. 同理得，BD?2sin2??3.
∵S1ABCD?AC?BD?2cos2??3?sin2??3?cos2??3?sin22??3?7， 当且仅当cos2??3?sin2??3，即???3?4或4时，等号成立，
∴四边形ABCD面积的最大值为7. ………………………………10分
23.(本小题满分10分)
?3?x， x??1(1)f?x??2x?2?x?1???1?3x，?1?x?1，
??x?3， x?1根据函数图象得，f?x?的最小值为-2，
∴m??2. ………………………………5分 (2)由(1)知，a?b?c?2，
∴??a2??b?1?2??c?2?2????12?12?12????a?1??b?1??1??c?2??1?2???a?b?c?1?2?9，∴a2??b?1?2??c?2?2?3，
当且仅当a?b?1?c?2，a?b?c?2，即a?1，b?2，c??1时等号成立，
∴a2?b2?c2?2b?4c?2?0. ………………………………10分
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2020合肥三模文科数学 答案
