高中物理奥赛经典13—11—甲所示。考虑到D、E、B三点等势，C、F、H三点等势，则电路图可等效为如图13—11—乙所示的电路图，所以AG间总电阻为R?
rrr5???r3636
例12：如图13—12所示，倾角为θ的斜面上放一木制圆制，其质量m=0.2kg，半径为r，长度L=0.1m，圆柱上顺着轴线OO′绕有N=10匝的线圈，线圈平面与斜面平行，斜面处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.5T，当通入多大电流时，圆柱才不致往下滚动？解析：要准确地表达各物理量之间的关系，最好画出正视图，问题就比较容易求解了。如图13—12—甲所示，磁场力Fm对线圈的力矩为MB=NBIL·2r·sinθ，重力对D点的力矩为：MG=mgsinθ，平衡时有：MB=MG
则可解得：I?
mg
?1.96A2NBL例13：空间由电阻丝组成的无穷网络如图13—13所示，每段电阻丝的电阻均为r，试求A、B间的等效电阻RAB。解析：设想电流A点流入，从B点流出，由对称性可知，网络中背面那一根无限长电阻丝中各点等电势，故可撤去这根电阻丝，而把空间网络等效为图13—13—甲所示的电路。（1）其中竖直线电阻r′分别为两个r串联和一个r并联后的电阻值，所以r??
2r?r2
?r3r3横线每根电阻仍为r，此时将立体网络变成平面网络。（2）由于此网络具有左右对称性，所以以AB为轴对折，此时网络变为如图13—13—降维法第11页（共14页）高中物理奥赛经典乙所示的网络。rr?r，竖线每根电阻为r????2232
AB对应那根的电阻为r??r，此时由左右无限大变为右边无限大。3其中横线每根电阻为r1?
（3）设第二个网络的结点为CD，此后均有相同的网络，去掉AB时电路为图13—13—丙所示。再设RCD=Rn－1（不包含CD所对应的竖线电阻）则RAB??RN，网络如图13—13—丁所示。此时Rn?2r1?
r??Rn?1r???Rn?1r?R
rRn?1r3n?1?2???r?
2rr?3Rn?1?Rn?13当n??时，Rn=Rn－1
rRnr2?4rRn?∴上式变为Rn?r?
r?3Rnr?3Rn由此解得：Rn?
3?21rr6
即RAB??
3?21rr6
补上AB竖线对应的电阻2
r，网络变为如图13—13—戊所示的电路。3RAB223?212r?RAB??r
2(3?21)r2(3?21)221336????r?r
22121?32121(21?3)r?RAB?2r?3?21r336例14：设在地面上方的真空室内，存在匀强电场和匀强磁场，已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小E=4.0V/m，磁感应强度的大小B=0.15T，今有一个带负电的质点以v=20m/s的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向（角度可用反三角函数表）。解析：因为带负电的质点做匀速直线运动，说明此质点所受的降维法第12页（共14页）高中物理奥赛经典合外力为零。又因为电场强度和磁感应强度的方向相同，所以该带电质点所受的电场力和洛仑兹力的方向垂直共面，且必受重力作用，否则所受合外力不可能为零，设质点速度方向垂直纸面向里。由此该带电质点的受力图如图13—14所示。由平衡条件有有水平方向：Eqcos??Bqvsin?①②在竖直方向：Eqsin??Bqvcos??mg解得：tan??
43
??arctan
43
q/m=2同理，当质点速度方向垂直纸面向外时受力情况如图13—14—甲，由平衡条件可解出θ值与上式解出的一样，只是与纸平面的夹角不同，故此带电质点的电量与质量之比为2。磁场的所有可能方向与水平方向的夹角都是??arctan
43或tan??
43针对训练
1．如图13—15所示，一个重1000N的物体放在倾角为30°的斜面上，物体与斜面间的摩擦系数μ为1/3。今有一个与斜面最大倾斜线成30°角的力F作用于物体上，使物体在斜面上保持静止，求力F的大小。2．斜面倾角θ=37°，斜面长为0.8m，宽为0.6m，如图13—16所示。质量为2kg的木块与斜面间的动摩擦因数为μ=0.5，在平行于斜面方向的恒力F的作用下，沿斜面对角线从A点运动到B点（g=10m/s2，sin37°=0.6）。求：（1）力F的最小值是多大？（2）力F取最小值时木块的加速度。3．质量为0.8kg的长方形木块静止在倾角为30°的斜面上，若用平行于斜面沿水平方向大小等于3N的力推物体，它仍保持静止，如图13—17所示，则木块所受摩擦力大小为，方向为。4．如图13—18，四面体框架由电阻同为R的6个电阻连接而成，试求任意两个顶点AB间的等效电阻。降维法第13页（共14页）高中物理奥赛经典5．如图13—19所示三棱柱由电阻同为R的电阻线连接而成，试求AB两个顶点间的等效电阻。6．将同种材料粗细均匀的电阻丝连接成立方体的形状，如图13—20所示，每段电阻丝电阻均为r。试求：（1）AB两点间等效电阻RAG；（2）AD两点间等效电阻RAD。参考答案
1．0.288×103N≤F≤0.577×103N2．(1)7.2N（2）0.8m/s2
3．5N沿斜面指向右上方水平方向的夹角为53°4．RAB?5．RABR24?R9
6．（1）RAG?
5
r6
（2）RAD?
7r12
降维法第14页（共14页）
高中物理奥赛经典方法 降维法
