高中物理奥赛经典十三、降维法
方法简介
降维法是将一个三维图变成几个二维图，即应选两个合适的平面去观察，当遇到一个空间受力问题时，将物体受到的力分解到两个不同平面上再求解。由于三维问题不好想像，选取适当的角度，可用降维法求解。降维的优点是把不易观察的空间物理量的关系在二维图中表示出来，使我们很容易找到各物理量之间的关系，从而正确解决问题。赛题精讲
例1：如图13—1所示，倾角θ=30°的粗糙斜面上放一物体，物体重为G，静止在斜面上。现用与斜面底边平行的力F=G/2推该物体，物体恰好在斜面内做匀速直线运动，则物体与斜面间的动摩擦因数μ等于多少？物体匀速运动的方向如何？解析：物体在重力、推力、斜面给的支持力和摩擦力四个力的作用下做匀速直线运动，所以受力平衡。但这四个力不在同一平面内，不容易看出它们之间的关系。我们把这些力分解在两个平面内，就可以将空间问题变为平面问题，使问题得到解决。将重力沿斜面、垂直于斜面分解。我们从上面、侧面观察，图13—1—甲、图13—1—乙所示。如图13—1—甲所示，推力F与重力沿斜面的分力G1的合力F′为：F??F2?G12?
2G2
F′的方向沿斜面向下与推力成α角，则tan??
G1?1F???45?
这就是物体做匀速运动的方向物体受到的滑动摩擦力与F′平衡，即所以摩擦因数：??
f?F??2G/2
f2G/26??FNGcos30?3例2：如图13—2所示，一个直径为D的圆柱体，其侧面刻有螺距为h的光滑的螺旋形凹槽，槽内有一小球，为使小球能自由下落，必须要以多大的加速度来拉缠在圆柱体侧面的绳子？解析：将圆柱体的侧面等距螺旋形凹槽展开成为平面上的斜槽，如图13—2—甲所示，当圆柱体转一周，相当于沿斜槽下降一个螺距h，当圆柱转n周时，外侧面上一共移动的水降维法第1页（共14页）高中物理奥赛经典平距离为2?D1n?at2①22圆弧槽内小球下降的高度为nh?
12gt②2
解①、②两式，可得，为使螺旋形槽内小球能自由下落，圆柱体侧面绳子拉动的加速度应为a?
?Dg
h例3：如图13—3所示，表面光滑的实心圆球B的半径R=20cm，质量M=20kg，悬线长L=30cm。正方形物块A的厚度△h=10cm，质量m=2kg，物体A与墙之间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s2。求：（1）墙对物块A的摩擦力为多大？（2）如果要物体A上施加一个与墙平行的外力，使物体A在未脱离圆球前贴着墙沿水平方向做加速度a=5m/s2匀加速直线运动，那么这个外力大小方向如何？解析：这里物体A、B所受的力也不在一个平面内，混起来考虑比较复杂，可以在垂直于墙的竖直平面内分析A、B间压力和A对墙的压力；在与墙面平行的平面内分析A物体沿墙水平运动时的受力情况。（1）通过受力分析可知墙对物块A的静摩擦力大小等于物块A的重力。（2）由于物体A贴着墙沿水平方向做匀加速直线运动，所以摩擦力沿水平方向，合力也沿水平方向且与摩擦力方向相反。又因为物体受竖直向下的重力，所以推力F方向应斜向上。设物体A对墙的压力为N，则沿垂直于墙的方向，物体B受到物体A的支持力大小也为N，有f??N,而N?Mgtan?又因为sin??
?h?R3
?L?R5所以tan??
3
4在与墙面平行的平面内，对物体A沿竖直方向做受力分析，如图13—3—甲所示有Fsin??mg
沿水平方向做受力分析，有Fcos??f?ma由以上各式，解得F?(mg)2?(f?ma)2?205N,a?arcsin(5/5)
因此，对物体A施加的外力F的大小为205N，方向降维法第2页（共14页）高中物理奥赛经典沿墙面斜向上且与物体A水平运动方向的夹角为arcsin(5/5).
例4：一质量m=20kg的钢件，架在两根完全相同的平行长直圆柱上，如图13—4所示，钢件的重心与两柱等距，两柱的轴线在同一水平面内，圆柱的半径r=0.025m，钢件与圆柱间的动摩擦因数μ=0.20。两圆柱各绕自己的轴线做转向相反的转动，角速度??40rad/s.若沿平行于柱轴的方向施力推着钢件做速度为?0?0.050m/s的匀速运动，求推力是多大？（设钢件不发生横向运动）解析：本题关键是搞清滑动摩擦力的方向，滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，由于钢件和圆柱都相对地面在运动，直接不易观察到相对地面在运动，直接不易观察到相对运动的方向，而且钢件的受力不在同一平面内，所以考虑“降维”，即选一个合适的角度观察。我们从上往上看，画出俯视图，如图13—4—甲所示。我们选考虑左边圆柱与钢件之间的摩擦力，先分析相对运动的方向，钢件有向前的速度?0，左边圆住有向右的速度r?,则钢件相对于圆柱的速度是?0与r?的矢量差，如图中△v，即为钢件相对于圆柱的速度，所以滑动摩擦力f的方向与△v，的方向相反，如图13—4—甲所示。以钢件为研究对象，在水平面上受到推力F和两个摩擦力f的作用，设f与圆柱轴线的夹角为θ，当推钢件沿圆柱轴线匀速运动时，应有F?2fcos??2f
v0?2f?v
v0v?(r?)
202①再从正面看钢件在竖直平面内的受力可以求出FN，如图13—4—乙所示，钢件受重力G和两个向上的支持力FN，且G=2FN，G
所以把FN?,f??FN代入①式，得2
推力F?2?FN?
图13—4—乙v02v0?(r?)2?2?v0mg
??2N
222v0?(r?)
例5：如图13—5所示，将质量为M的匀质链条套在一个表面光滑的圆锥上，圆锥顶角为α，设圆锥底面水平，链条静止时也水平，求链条内的张力。解析：要求张力，应在链条上取一段质量元?m进行研究。因为该问题是三维问题，各力不在同一平面内，所以用“降维法”作出不同角度的平面图进行研究。作出俯视图13—5—甲，设质量元?m两端所受张力为T，其合力为F，因为它所对的圆心角θ很小，所以F?2Tsin?，即F=Tθ。2降维法第3页（共14页）高中物理奥赛经典再作出正视图13—5—乙，质量元受重力?mg、支持力N和张力的合力F而处于平衡状态，由几何知识可得：F??mg?cot
所以链条内的张力????Mg?cot22?2
T?
FMg???cot22?2
例6：杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。演员骑摩托车从底部开始运动，随着速度增加，圈子越兜越大，最后在竖直圆筒壁上匀速率行驶，如图13—6所示。如果演员和摩托车的总质量为M，直壁半径为R，匀速率行驶的速率为v，每绕一周上升的距离为h，求摩托车匀速走壁时的向心力。解析：摩托车的运动速度v，可分解为水平速度v1和竖直分速度为v12v2，则向心力速度为a?。处理这个问题的关键是将螺旋线展开为R一个斜面，其倾角的余弦为cosa?所示。所以有v1?vcos??
2?R(2?R)?h
22，如图13—6—甲2?R(2?R)?h
22v
v12v22?R
向心加速度为：a??()2RR(2?R)2?h2向心力4?2R
F?Ma?Mv
(4?2R2?h2)
2例7：A、B、C为三个完全相同的表面光滑的小球，B、C两球各被一长为L=2.00m的不可伸和的轻线悬挂于天花板上，两球刚好接触，以接触点O为原点作一直角坐标系Oxyz,z轴竖直向上，Ox与两球的连心线重合，如图13—7所示。今让A球射向B、C两球，并与两球同时发生碰撞。碰撞前，A球速度方向沿y轴正方向，速率为vA0?4.00m/s。相碰后，A球沿y轴负方向反弹，速率vA=0.40m/s。降维法第4页（共14页）高中物理奥赛经典（1）求B、C两球被碰后偏离O点的最大位移量；（2）讨论长时间内B、C两球的运动情况。（忽略空气阻力，取g=10m/s2）解析：（1）A、B、C三球在碰撞前、后的运动发生在Oxy平面内，设刚碰完后，A的速度大小为vA，B、C两球的速度分别为vB与vC，在x方向和y方向的分速度的大小分别为vBx，vBy和vCx,vCy，如图13—7—甲所示，由动量守恒定律，有mvCx?mvBx?0
①mvAx?mvBy?mvCy?mvA②由于球面是光滑的，在碰撞过程中，A球对B球的作用力方向沿A、B两球的连心线，A球对C球的作用力方向沿A、C两球的连心线，由几何关系，得??
vBx?vBytan?
6????
vCx?vCytan
6??
由对称关系可知③vBx?vCy④解①、②、③、④式可得vBx?vCy?1.27m/s
vBx?vCy?2.20m/s
由此解得图13—7甲vBx?vCy?2.54m/s
设C球在x>0,y>0,z>0的空间中的最大位移为OQ,Q点的z坐标为zQ，则由机械能守恒定律可写出12mvC?mgzQ2
⑤所以2vCzQ?
2g代入数值解得zQ=0.32m而Q点到Oz轴的距离为QD?L2?(L?zQ)2?
OQ?
zQ(2L?zQ)⑥所以C球离O点的最大位移量2zQ?OD2?2LzQ降维法第5页（共14页）
高中物理奥赛经典方法 降维法 - 图文
