高三数学专题复习
层级二 专题五 第3讲
限时60分钟 满分60分
解答题(本大题共5小题，每小题12分，共60分)
x2y23
1．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)经过点M(2,1)，且离心率e＝. ab2(1)求椭圆C的方程；
(2)设A，B分别是椭圆C的上顶点、右顶点，点P是椭圆C在第一象限内的一点，直线AP，BP分别交x轴，y轴于点M，N，求四边形ABMN面积的最小值．
解析：本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的基本性质以及直线方程，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算．(1)由离心率及c2＝a2－b2得a，b的关系，再把已知点代入即可求出标准方程；(2)设出点P的坐标，得到直线AP，BP的方程，从而表示出点M，N的坐标，进而得到|AN|·|BM|，最后利用S四边形ABMN＝S△OMN－S△OAB及基本不等式求面积的最小值．
(1)由椭圆的离心率为1
＝1，解得b2＝2， b2
x2y2
∴椭圆C的方程为＋＝1.
82
(2)由(1)可知，A(0，2)，B(22，0)，设P(x0，y0)(0＜x0＜22，0＜y0＜2)，则直线AP：
3c34得，＝，又c2＝a2－b2，∴a＝2b.又椭圆C经过点(2,1)，∴2＋2a24b
?－2x0?y0－2
，0?. y＝x＋2，从而M?x0y0－2?
?
?－22y0?y0
直线BP：y＝(x－22)，从而N?0，?.
x－22x0－220??
?2＋22y0??22＋2x0?2?x0＋2y0－22?2x2y200
∵＋＝1，∴|AN|·|BM|＝? ?·??＝82x0－22??y0－2??x0－22??y0－2??
＝
22?x20＋4y0＋4x0y0－42x0－82y0＋8?
x0y0－2x0－22y0＋4
＝8.
∴S四边形ABMN＝S△OMN－S△OAB
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1
＝(|OM|·|ON|－|OA|·|OB|) 21
＝(2|BM|＋22|AN|＋8) 2＝
2
(|BM|＋2|AN|)＋4 2
2·22|AN|·|BM| 2
≥4＋
＝4＋42(O为坐标原点)，
当且仅当|BM|＝4，|AN|＝2时取得最小值．
x2y23
2．已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，上顶点M到直线3x＋y＋4＝0的距
ab2离为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线l过点(4，－2)，且与椭圆C相交于A，B两点，l不经过点M，证明：直线MA的斜率与直线MB的斜率之和为定值．
解：本题主要考查椭圆与直线的交汇，考查考生的数形结合能力、推理论证能力以及运算求解能力，考查的核心素养是直观想象、逻辑推理、数学运算．
??|b＋4|
(1)由题意可得，?＝3
2??a＝b＋c
2
2
c3e＝＝a2
2
??a＝4x2y2
，解得?，所以椭圆C的方程为＋＝1.
164
?b＝2?
(2)易知直线l的斜率恒小于0，设直线l的方程为y＋2＝k(x－4)，k＜0且k≠－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
??y＋2＝k?x－4?
联立得?x2y2，得(1＋4k2)x2－16k(2k＋1)x＋64k(k＋1)＝0，
??16＋4＝1
16k?2k＋1?64k?k＋1?则x1＋x2＝，x， 1x2＝
1＋4k21＋4k2因为kMA＋kMB＝
y1－2y2－2
＋ x1x2
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?kx1－4k－4?x2＋?kx2－4k－4?x1＝，
x1x2所以kMA＋kMB＝2k－(4k＋4)×值)．
y2x26
3．(2024·淮南三模)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，直线4x＋3y－5＝0
ab3与以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆相切．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若A为椭圆C的下顶点，M，N为椭圆C上异于A的两点，直线AM与AN的斜率之积为1.
①求证：直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标； →→
②若O为坐标原点，求OM·ON的取值范围． c6解析：(1)由题意可得离心率e＝＝，
a3又直线4x＋3y－5＝0与圆x2＋y2＝b2相切， 所以b＝
|－5|
＝1，
x1＋x216k?2k＋1?
＝2k－4(k＋1)×＝2k－(2k＋1)＝－1(为定x1x264k?k＋1?
42＋32
结合a2－b2＝c2，解得a＝3， y22
所以椭圆C的标准方程为＋x＝1.
3(2)①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
y1＋3y2＋3
由题意知A(0，－3)，又直线AM与AN的斜率之积为1，所以·＝1，
x1x2即有x1x2＝y1y2＋3(y1＋y2)＋3，
由题意可知直线MN的斜率存在且不为0， 设直线MN：y＝kx＋t(k≠0)，
代入椭圆方程，消去y可得(3＋k2)x2＋2ktx＋t2－3＝0， 2kt
所以x1x2＝，x， 1＋x2＝－
3＋k23＋k2
t2－3
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