精品
答案：原方程变形为：
dydx?e2x?y 分离变量得：eydy?e2xdx
两边积分得：
?eydy??e2xdx
原方程的通解为：ey?122ex?C 将x?0，y?0代入上式得：C?12 则原方程的特解为：ey?12e2x?12 (2)xy??y?ex?0,y(1)?0
y??1ex答案：原方程变形为：xy?x
原方程的通解为：
y?e??11xdx(?e?xxxdxexdx?C)?elnx?1(?elnxe1xdx?C)?x(?exdx?C)
?1x(ex?C) 将x?1，y?0代入上式得：C??e
则原方程的特解为：y?1x(ex?e) 4.求解下列线性方程组的一般解：
?x1?2x3?x4?0（1）???x1?x?2?3x3?2x4?0
?2x1?x2?5x3?3x4?0答案：原方程的系数矩阵变形过程为：
?102?1?②?①?102?1??102A????11?32??③??①??(??2)??01?11??③???②?01?1??3???????2?15???0?11?1????000由于秩(
A)=2 ??x1??2x3?x4（其中?xx3，x4为自由未知量）。 2?x3?x4 ?2x1?x2?x3?x4?1（2）??x1?2x2?x3?4x4?2 ??x1?7x2?4x3?11x4?5可编辑 ?1?1?0??? 精品 答案：原方程的增广矩阵变形过程为： ?2?1111?A???12?142??12?142??(?①,②?)??2?1111? ????17?4115?????17?4115??②?①?(?2)?12?142??③??①?(???1)???0?53?7?3??12?1?③???②??0?53?7???05?33????000?61?12?142?1015?②??(???5)???01?373??5①?②?(?7?00055?05??????2)??01?30??55??0000??由于秩( A)=2 ??x411??x?6?5?35335x4（其中x3，x4为自由未知量）。 ?x?5?5x723?5x45.当?为何值时，线性方程组 ??x1?x2?5x3?4x4?2??2x1?x2?3x3?x4?1 ?3x1?2x2?2x3?3x4?3??7x1?5x2?9x3?10x4??有解，并求一般解。 答案：原方程的增广矩阵变形过程为： ?②?①?(?2)?1?1?542??1?1?54A??2?13?11?③?①?(?3)????④?①?(?7)0113?9?3?2?233???????0113?9?7?5?910?????0226?18①?②?08?5?1?③?②?(?1)?1?④??②??(??2)??0113?9?3???00000?? ?0000??8??所以当??8时，秩(A)=2 ??x1??1?8x3?5x4?x2??3?13x 3?9x45．a,b为何值时，方程组 可编辑 42??7?3?00? ??4?5?3?5? 0????2??3??3?? ??14??精品 ??x1?x2?x3?1?x1?x2?2x3?2 ??x1?3x2?ax3?b答案：当a??3且b?3时，方程组无解； 当a??3时，方程组有唯一解； 当a??3且b?3时，方程组无穷多解。 原方程的增广矩阵变形过程为： ?1?1?11?A???11?22?②?①?(?1)?1?1?11??1?1?③??①??(??1)??02?11??③??②??(?2)?02?13???????ab????04a?1b?1????00讨论：（1）当a??3，b为实数时，秩(A)=3=n=3，方程组有唯一解； （2）当a??3，b?3时，秩(A)=2 （3）当a??3，b?3时，秩(A)=3≠秩(A)=2，方程组无解； 6．求解下列经济应用问题： （1）设生产某种产品q个单位时的成本函数为：C(q)?100?0.25q2?6q（万元）, 求：①当q?10时的总成本、平均成本和边际成本； ②当产量q为多少时，平均成本最小？ 答案：①∵ 平均成本函数为：C(q)?C(q)q?100q?0.25q?6（万元/单位） 边际成本为：C?(q)?0.5q?6 ∴ 当q?10时的总成本、平均成本和边际成本分别为： C(10)?100?0.25?102?6?10?185(元) C(10)?10010?0.25?10?6?18.5（万元/单位） C?(10)?0.5?10?6?11（万元/单位） ②由平均成本函数求导得：C?(q)??100q2?0.25 令C(q)??0得唯一驻点q1?20（个），q1??20（舍去） 由实际问题可知，当产量q为20个时，平均成本最小。 可编辑 ?11??11?a?3b?3???精品 （2）.某厂生产某种产品q件时的总成本函数为C(q)?20?4q?0.01q2（元），单位销售价格为 ，问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少． p?14?0.01q（元/件） 答案：（2）解：由 得收入函数 得利润函数： 令 p?14?0.01q R(q)?pq?14q?0.01q2 L(q)?R(q)?C(q)?10q?0.02q2?20 L?(q)?10?0.04q?0 ?250 唯一驻点 解得：q所以，当产量为250件时，利润最大， 最大利润：L(250)?10?250?0.02?2502?20?1230(元) ?2q?40(万元/百台)．试求产量由 4 （3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为C?(q)百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低． 解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为 答案：①产量由4百台增至6百台时总成本的增量为 662??C??C(x)dx??(2x?40)dx?(x?40x)?100(万元) 4446②成本函数为： C(x)??C?(x)dx??(2x?40)dx?x2?40x?C0 又固定成本为36万元，所以 C(x)?x2?40x?36(万元) 平均成本函数为： C(x)36?x?40?(万元/百台) xx?36求平均成本函数的导数得：C(x)?1?2 x?令C(x)?0得驻点x1?6，x2??6（舍去） C(x)?由实际问题可知，当产量为6百台时，可使平均成本达到最低。 （4）已知某产品的边际成本C?(q)=2（元/件），固定成本为0，边际收益 R?(q)?12?0.02q，求： ①产量为多少时利润最大？ ②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？ 答案：①求边际利润：L?(q)?R?(q)?C?(q)?10?0.02q 可编辑 精品 令L?(q)?0得：q?500（件） 由实际问题可知，当产量为500件时利润最大； ②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润的增量为： ?L??L?(q)dq??(10?0.02q)dq?(10q?0.01q2)500500550550550500??25（元） 即利润将减少25元。 可编辑
电大经济数学基础形成性考核册答案
