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函数单调性的判定方法
1.判断具体函数单调性的方法
对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：
1.1 定义法
首先我们给出单调函数的定义。一般地，设f为定义在D上的函数。若对任何x1、
x2?D，当x1?x2时，总有
(1)f(x1)?f(x2)，则称f为D上的增函数，特别当成立严格不等f(x1)?f(x2)时，称f为D上的严格增函数；
(2)f(x1)?f(x2),则称f为D上的减函数，特别当成立严格不等式f(x1)?f(x2) 时，称f为D上的严格减函数。
给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数
y?f(x)在给定区间D上的单调性的一般步骤：
（1）设元，任取x1,x2?D且x1?x2； （2）作差f(x1)?f(x2)；
（3）变形（普遍是因式分解和配方）；
（4）断号（即判断f(x1)?f(x2)差与0的大小）；
（5）定论（即指出函数 f(x) 在给定的区间D上的单调性）。 例1.用定义证明f(x)??x3?a(a?R)在(??,??)上是减函数。
证明：设x1,x2?(??,??)，且x1?x2，则
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332f(x1)?f(x2)??x13?a?(?x2?a)?x2?x13?(x2?x1)(x12?x2?x1x2).
2由于x12?x2?x1x2?(x1?x2232)?x2?0，x2?x1?0 242?x1x2)?0，则f(x1)?f(x2)?(x2?x1)(x12?x2即f(x1)?f(x2)，所以f(x)在???,???上是减函数。
例2.用定义证明函数f(x)?x?k(k?0) 在(0,??)上的单调性。 x证明：设x1、x2?(0,??)，且x1?x2，则
f(x1)?f(x2)?(x1?kkkk)?(x2?)?(x1?x2)?(?) x1x2x1x2?(x1?x2)?k(x2?x1x?x2xx?k)?(x1?x2)?k(1)?(x1?x2)(12)， x1x2x1x2x1x2又0?x1?x2所以x1?x2?0，x1x2?0，
当x1、x2?(0,k]时x1x2?k?0?f(x1)?f(x2)?0，此时函数f(x)为减函数； 当x1、x2?(k,??)时x1x2?k?0?f(x1)?f(x2)?0，此时函数f(x)为增函数。 综上函数f(x)?x?k(k?0)在区间(0,k]内为减函数；在区间(k,??)内为增函数。 x此题函数f(x)是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于x1x2?k与0的大小关系(k?0)不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于定义域内任意两个数x1,x2当
x1?x2时，容易得出f(x1)与f(x2)大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直
接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。
1.2 函数性质法
函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我
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们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：
函数 函数表达式 当k?0时，y在R上是增函数； 单调区间 特殊函数图像 一次函数 y?kx?b(k?0) 当k?0时，y在R上是减函数。 当a?0时，x?? b时y单调减, 2a二次函数b时y单调增； 2a(a?0,a,b,c?R) b当a?0时，x??时y单调增，2abx??时y单调减。 2ax?? 当k?0时,y在x?0时单调减，在x?0y?ax2?bx?c 反比例函数y?k x时单调减； 当k?0时,y在x?0时单调增，在x?0时单调增。 (k?R且k?0) ..
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当a?1时，y在R上是增函数； 指数函数y?ax (a?0,a?1) 当0?a?1，时y在R上是减函数。 当a?1时，y在(0,??)上是增函数； 对数函数y?logax当0?a?1时，y在(0,??)上是减函数。 (a?0,a?1)
对于一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论： ⑴．f(x)与f(x)+C单调性相同。（C为常数）
⑵．当k?0时，f(x)与kf(x)具有相同的单调性；当k?0时， f(x)与kf(x)具有相
反的单调性。
⑶．当f(x)恒不等于零时，f(x)与
1具有相反的单调性。 f(x)⑷．当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数时，则f(x)＋g(x)在D上是增（减）函 数。
⑸．当f(x)、g(x)在D上都是增（减）函数且两者都恒大于0时，f(x)g(x)在D上 是增（减）函数；当f(x)、（减）函数且两者都恒小于0时，f(x)g(x) g(x)在D上都是增在D上是减（增）函数。
⑹．设y?f(x),x?D为严格增（减）函数，则f必有反函数f域f(D)上也是严格增（减）函数。
我们可以借助以上简单函数的单调性来判断函数的单调性，下面我们来看以下几个例子：
例3.判断f(x)?x?x3?log2x3?2x?1(x2?1)?5的单调性。
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?1，且f?1在其定义
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解:函数f(x)的定义域为(0,??)，由简单函数的单调性知在此定义域内
x,x3,log2x3均为增函数，因为2x?1?0,x2?1?0由性质⑸可得2x?1(x2?1)也是增函
数；由单调函数的性质⑷知x?x3?log2x为增函数，再由性质⑴知函数
f(x)?x?x3?log2x3?2x?1(x2?1)+5在(0,??)为单调递增函数。
x?a(a?b?0)，判断f(x)在其定义域上的单调性。 x?bx?a解:函数f(x)?的定义域为(??,?b)?(?b,??).
x?ba?bx?a先判断f(x)在(?b,??)内的单调性，由题可把f(x)?转化为f(x)?1?，又
x?bx?b1a?b为减函数；由性质⑵可得为减函数；再a?b?0故a?b?0由性质⑶可得
x?bx?ba?b由性质⑴可得f(x)?1?在(?b,??)内是减函数。
x?bx?a同理可判断f(x)在(??,?b)内也是减函数。故函数f(x)?在(??,?b)?(?b,??)x?b例4.设函数f(x)?内是减函数。
函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。
1.3 图像法
用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，若函数
f(x)的图像在区间I上从左往右逐渐上升则函数f(x)在区间I上是增函数；若函数f(x)图像在区间I上从左往右逐渐下降则函数f(x)在区间I上是减函数。、
例5.如图1-1是定义在闭区间[-5,5]上的函数y?f(x)的图像，试判断其单调性。
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函数单调性的判定方法 - 图文
