【创新设计】（全国通用）2020高考数学二轮复习 专题 几何证明选
讲训练文（选修4-1）
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1.（2020 ?陕西卷）如图，AB切O O于点B,直线AO交O O于 D, E两点,
BCX DE垂足为C
⑴ 证明：/ CBD-Z DBA
（2）若 AD- 3DC BC= ,：2,求O O的直径. ⑴证明 因为DE为O O直径, 则/ BED^Z EDB= 90°,
又 BCL DE 所以Z CBDbZ EDB= 90° , 从而Z CBD-Z BED 又AB切O O于点B,得Z DBA=Z BED 所以Z CBD-Z DBA
BA AD
由⑴知BD平分Z CBA则
BCT CD
又BC= ,：2，从而 AB= 3,；2,所以 AC= :AB— BC- 4,所以 AD- 3,由切割线定理得 A^ =
AD- AE
AB
即 AE= AD- 6,故 DE= AE- AD- 3，即
AD
O O直径为 3.
2.（2020 ?全国I卷）如图，AB是OO的直径，AC是O O的切线，BC交O O于
点E.
（1） 若D为AC的中点，证明： DE是O O的切线； （2） 若 OA= ：3CE,求Z ACB的大小.
⑴ 证明 连接AE由已知得， AE1 BC ACL AB
在Rt △ AEC中 ,由已知得， DE= DC 故Z DEC=Z DCE 连接 OE 则Z OB-Z OEB 又Z ACB^Z ABC= 90° , 所以Z DEOZ OEB= 90° ,
故Z OEO90° , DE是O O的切线.
⑵ 解 设CE= 1 , AE- x,由已知得 AB= 2.：'3, BE-「12 — x【由射影定理可
得,
AE -
CE- BE
所以 x2- '12 — x2 , 即 x4+ x2— 12- 0.
可得 x = ：3,所以/ ACB= 60°.
3. (2020 ?全国H卷)如图，O为等腰三角形 ABC内一点0与厶ABC的底边
BC交于M N两点，与底边上的高 AD交于点 G且与AB AC分别相切于 E、F两
点.
⑴证明：EF// BC
(2)若AG等于O O的半径，且 AE= MN= 2 ：：3,求四边形 EBCF的面积. ⑴证明 由于△ ABC是等腰三角形， ADL BC所以AD是/ CAB勺平分线. 又因为O
O分别与AB, AC相切于点E，F,所以AE= AF,故ADL EF从而 EF/ BC
(2)解 由⑴ 知，AE= AF, ADL EF,故AD是 EF的垂直平分线，又 EF为 OO的弦，所以O在AD上. 连接OE OM则OEL AE
由AG等于O O的半径得AO- 2OE 所以/ OAE= 30°.
因此△ ABOm^ AEF都是等边三角形. 因为 AE= 2 ：3,所以 A8 4, OE= 2. 因为 OM= OE= 2, DM= MN= '3 ,
2
所以OD= 1.于是AD= 5, AB=气迢
所以四边形EBCF的面积为1X 匹卫 X—3-[x (2 ：3)2 X \3=
2 3 2 2 ^2
4. 如图所示，O O的直径为 AB AD平分/ BAC AD交O O于点D, BC// DE
且DE交AC的延长线于点 E , OE交AD于点F. (1) 求证：DE是O O的切线； (2) 若 AB= 10 , AC= 6,求 DF 的长. (1) 证明如图所示，连接 OD 可得/ ODA=Z OAD=Z DAC 所以 OD/ AE 又 BCL AC且 BC// DE 所以DEL AC
故DEL OD又OD为半径， 所以DE是O O的切线.
(2) 解 过点D作DHL AB于H ,则有/ DOb+Z CAB 又AB为O O的直径，
3
AC 3 OH
则Z ACB= 90°,贝U cosZ DOH= cosZ CAB=荷
AB 5 OD
因为 0D= 5，所以 OH^3, DHh 4, AD= 4 ：5, 由角平分线的性质知 AE= AHF= 8, 又由△ AEPA DOF可得 籌 D0= 5, 所以D-存二2V.
5.如图，D, E分别为△ ABC边AB, AC的中点，直线 。丘交厶ABQ的外接圆
于F, G两点.若CF// AB 证明：⑴CD= BC (2) △ BCD^A GBD
证明(1)如图，因为D, E分别为AB AC的中点， 所以DE// BC又已知 CF// AB 故四边形BCFD是平行四边形， 所以 CF= BD= AD 而CF// AD连接AF,
所以四边形ADCF是平行四边形，故 CD= AF 因为CF// AB
所以 BC= AF,故 CD= BC (2)因为 FG// BC 故 GB= CF 由(1)可知BD= CF, 所以GB= BD
BGD=/ BDG 由 BC= CD知,/ CBD=/ CDB 又因为/ DGB=Z EFC=Z DBC
故厶 BCD^A GBD
(全国通用)2020高考数学二轮复习专题几何证明选讲训练文(选修4-1)
