概率论与数理统计 总复习
第一章 概率论的基本概念
1. 事件之间关系的表示
例：设A,B,C为三个事件，请用事件的关系表述以下事件： ①A,B,C不多于一个发生（至少两个不发生） ； ②A,B,C不多于两个发生（至少一个不发生） ； ③A,B,C至少有两个发生（至多一个不发生） 。 2. 利用概率的关系和性质求事件概率
P(B)?0.3，例1：设P(A)?0.5，且A和B相互独立，则P(AB)? ； P(A?B)? 。
例2：设P(A)?0.3，P(A?B)?0.7，且A和B互不相容，则P(B)? 。 例3：设A,B为两个事件，若P(A)?3. 等可能概型
例：盒中有8只灯泡，3只次品，5只正品。在其中取两次，每次任取一只，做不放回抽样，求以下事件的概率：①两只都是次品；②至少有一只是次品。 4. 条件概率、乘法定理、贝叶斯公式
例1：甲乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.7和0.6，求：①命中目标的概率；②目标被击中的情况下，它是甲射中的概率。
例2：有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1；0.2；0.3。从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，求（1）这件为次品的概率；（2）若已知取得的为次品，此次品由甲厂生产的概率。
111P(BA)?，P(AB)?，，则P(A?B)? 。 432第二章 随机变量
1. 给随机变量X分布律或概率密度，求①分布函数；②X落在某区间的概率。 例1：设随机变量X的分布律为：
X 1 4 6 10 2 1 2 1 66661
pk 求：①X的分布函数F(x)； ②P(1?X?5)。
?kx2,例2：设连续型随机变量X的概率密度为f(x)???0,0?x?3.其它.
?3? 求：①系数k； ②分布函数F(x)； ③P??X?3?。
?2?2. 给随机变量X分布律或概率密度，求函数Y?g(X)的分布律或概率密度。 例1：设随机变量X的概率分布律为 X Pk ?1 0 0．5 1 0．3 0．2 则随机变量X2的概率分布律为 。
x?1?0,?例2：设随机变量X的分布函数为FX(x)??lnx,1?x?e
?1,x?e?(1) 求P{ 0 < X ≤ 3 }、P{ 1 < X ≤ 2.5 }； (2) 求X的概率密度函数；
(3) 随机变量Y = 3X + 5 ,求Y的概率密度函数。
?ke?x，x?0例3：设随机变量X的概率密度为f(x)??
?0，x?0求：(1)确定系数k；(2)Y?X2的概率密度。
3. 六种特殊分布的分布律和概率密度的定义，正态分布的标准化。
例1：（1）设随机变量X服从（0-1）分布，则其分布律为 。
（2）设随机变量X～b(n,p)，则其分布律为 。 （3）设随机变量X～?(?)，则其分布律为 。 （4）设随机变量X～U(a,b)，则其概率密度为 。 （5）设随机变量服从参数为?的指数分布，则其概率密度为 。 （6）设随机变量X～N(?,?2)，则其概率密度为 。 例2：设随机变量X～N(0,1)，则?(0)? ，?(0)? ，P?X?0?? 。
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例3：设随机变量X～N(2,4)，则P??1?X?1?? 。 例4：设随机变量X～N(3,4)，①若P?X?c??P?X?c?，求c； ②求P?2?X?5?，P?X?2?，P?X?3?； ③设d满足P?X?d??0.9，问d至多为多少？
第三章 二维随机变量
1. 求随机变量X,Y的边缘分布，判断X,Y是否独立。
例1：设随机变量( X，Y )的分布律为 X -1 Y -1 1/8 (1) 求随机变量X和Y的边缘分布律； 0 1/8 (2) 判断X﹑Y是否相互独立。 1 1/8 例2：已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密为
0 1/8 0 1/8 -1 1/8 1/8 1/8 ?c(x?y),0?y?x?1f(x,y)??
其它?0,求：（1）边缘概率密度函数fX(x)，fY(y)； （2）判断X与Y是否相互独立。 例3：设随机变量(X,Y)的分布函数为
?1?e?0.5x?e?0.5y?e?0.5(x?y)，x?0，y?0F(x,y)??，
，其它0?判断X和Y是否相互独立。
2. 求(X,Y)的联合分布，条件分布及(X,Y)落在某区域内的概率。
例1：设袋中有标记为1~4的四张卡片，从中不放回的抽取两张，X表示首次抽到的卡片上的数字，Y表示抽到的两张卡片上的数字差的绝对值，求（1）(X,Y)的概率分布；（2）在X=1条件下，Y的条件分布率；（3）判断X和Y的独立性。 例2：设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为
?ke?2x?5yf(x,y)???03
x?0,y?0
其它求（1）k；（2）F(x,y)；（3）fYX(yx)；（4）P(0?x?1,0?y?2)
3. 求两个随机变量函数的分布。
例1：设相互独立的两个随机变量X和Y具有同一分布，且X的分布律为
P{X?0}?P{X?1}?1，则Z1?max(X,Y)的分布律是 ，2Z2?min(X,Y)的分布律是 。
例2：设X和Y独立同分布，密度函数为p(t)，分布函数为F(t)，则
Z1?maxX(,Y)的密度函数是 ，Z2?min(X,Y)的密度函数
是 。
例3：设相互独立的两个随机变量X、Y的分布律为
X pk 1 0.3 3 0.7
求Z=X+Y的分布律。
例4：设相互独立的随机变量X和Y具有相同的概率密度函数
Y pk 2 0.4 4 0.6 ?e?x,f(x)???0,
x?0其它，求随机变量Z=X+Y的概率密度。
第四章 期望、方差、协方差、相关系数
1. 给一个随机变量的概率分布，求期望和方差。 例1：设随机变量X的分布律为
X Pk ?1 0 0．5 1 0．3 0．2 2求：E(X)、D(X)、D?X?1?。
???A(x?2)2,0?x?2例2：设随机变量X的概率密度为f(x)??，
0,其它?求：E(X)、D(X)。
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例3：已知随机变量X在区间（0，3）上服从均匀分布，Y?3X2，求E(Y)及
D(Y)。
2. 给出二维随机变量的概率分布，求期望、方差、协方差和相关系数。 例1：设?X,Y?的分布律为
X Y 0 1 ?1 0 0.1 0.1 1 0.2 0.1 2 0.1 0.2 0.2 0 求：（1）E(X)、E(Y)；（2）D(X)、D(Y)；（3）cov(X,Y)； （4）?XY；（5）D(X?Y).
例2：设随机变量X和Y的联合概率密度为
?4xy,0?x?1,0?y?1f(x,y)??
0,其它?求：（1）E(X)、E(Y)；（2）D(X)、D(Y)；（3）cov(X,Y)； （4）?XY；（5）D(X?Y).
3. 利用期望、方差、协方差的性质和六种特殊分布的期望、方差进行计算。 例1：已知随机变量Y~b(100,0.2)，则E(Y)? ，D(Y)? ，E(Y2)? ，D(Y?2)? 。
例2：设随机变量X~?(2)，Y~U(1,3)，则E(2X?3Y)? 。
Y~N(2,4)，例3：设随机变量X~?(3)，且X和Y相互独立，则E(XY)? 。
例4：已知随机变量X服从参数为4的指数分布，则D(1?X)? 。 例5：设随机变量X、Y相互独立，且
X~U(0,6)，Y~?(3)，则
D(X?2Y?1)? 。
例6：设随机变量
X~N(2,3)，Y~N(1,2)，且X、Y相互独立，则
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