?ED?DC???EDF??CDF ?DF?DF?∴△EDF≌△CDF ……………………………………………………………………（1分） ∴EF=CF ………………………………………………………………………………（1分） ∵梯形ABCD ∴ AD∥BC ∴∠ EDF=∠ DFC ∴∠ DFC=∠ CDF ∴CF=CD
∴ED=DC=CF=EF………………………………………………………………………（1分） ∴四边形EDCF是菱形．
（2）线段BE和EC的位置关系是垂直． …………………………………………（1分） ∵点F是BC的中点 ∴BF=CF
∴BF=ED………………………………………………………………………………（1分） ∵ED∥BF
∴四边形BEDF是平行四边形………………………………………………………（1分） ∴BE∥DF ……………………………………………………………………………（1分） ∵菱形EDCF
∴EC⊥DF ……………………………………………………………………………（1分） ∴BE⊥EC．
22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
（1）②………………………………………………………………………………………（2分） （2）设y＝kx＋b (a≠0)，将（1，80）、（4，95）代入得：
?k?b?80 ………………………………………………………………………（2分） ??4k?b?95解得: ??k?5………………………………………………………………………（1分）
?b?75∴y＝5x＋75．………………………………………………………………………（1分） （3）把x=6代入y＝5x＋75
得y=105 ……………………………………………………………………………（1分） 设这个增长率是a，则：105（a+1）2=151.2 ……………………………………（2分） 解得a=20%
答：这个增长率是20%．…………………………………………………………（1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） （1）证明：∵△ABD和△DCE都是等边三角形
∴BD＝AD，DE＝DC，∠FAB＝∠ABC＝∠ADB＝∠EDC＝60°…………………（2分） ∴∠BDE＝∠ADC． ……………………………………………………………………（1分） 在△BDE和△ADC中
A
M D
∴△BDE≌△ADC．………………………………………………………………………（1分） （2）证明：∵△BDE≌△ADC ∴∠DBE＝∠DAC
∵∠ABC＝∠ADB＝60° ∴∠ABF＝∠BCA
∵∠FAB＝∠ABC，∠ABF＝∠BCA…………………………………………………………（2分）
∴△FAB∽△ABC………………………………………………………………………………（1分）
?BD?AD???BDE??ADC ?DE?DC?F B E
C
图9
AFAB ?ABBC即AB2 = BC?AF ………………………………………………………………………………（1
∴
分）
（3）∵△FAB∽△ABC
∴∠ABF=∠ACB………………………………………………………………………………（1分）
过A作AM⊥BC于点M ……………………………………………………………………（1分）
∵△ABC是等边三角形，BD=12 ∴MD=6，AM=63 在Rt△AMC中，AC=分） ∴sin∠ACB=
AM?MC?22?63?2?62?12………………………………（1
AM633?? AC1223………………………………………………………………………………（12即sin∠ABF=分）
24． （本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 解：（1）∵二次函数y＝ax2＋4的图像与y轴交于点C ∴点C的坐标为（0，4）．………………………………………………………………（1分）
∵二次函数y＝ax2＋4的图像与x轴交于点A，cos∠CAO＝
2 2∴∠CAO＝45°…………………………………………………………………………（1分） ∴OA＝OC＝4，∴点A的坐标为（－4，0） ………………………………………（1分）
1 41∴这二次函数的解析式为y＝－x2＋4． …………………………………………（1分）
4∴0＝a（－4）2＋4，∴a＝－
（2）连接OD，作DE∥y轴，交x轴于点E，DF∥x轴，交y轴于点F（如图一）．
y ∵⊙O与直线AC相切于点D，∴OD⊥AC．………（1分） C ∵OA＝OC＝4，∴点D是AC的中点………………（1分） 11∴DE＝OC＝2，DF＝OA＝2，
22D A E F O B ∴点D的坐标为（－2，2）． ………………………（2分） （3）直线OD的解析式为y＝－x（如图二），
则经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y＝－x－4．………………………（1分）
（图一x ） ?y??x?4?解方程组?， 12y??x?4?4?消去y，得x2－4x－32＝0，即（x－8）（x＋4）＝0，
∴x1＝8，x2＝－4（舍去），∴y＝－12，∴点P1的坐标为（8，－12）．……………（1分）
直线AC的解析式为y＝x＋4，
则经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y＝x． ……………………………（1
y 分） C ?y?x?解方程组?， 12y??x?4?4?消去y，得x2＋4x－16＝0，即x＝－2＋25，
A D O B x P1 P2
（图二） ∴x1＝－2－25，x2＝－2＋25（舍去），∴y＝－2－25，
∴点P2的坐标为（－2－25，－2－25）．………………………………………（1分） 25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）
解：（1）四边形ABDE是平行四边形…………（1分） 如图（1）∵ ∠ BAC=∠ DAE，AB=AC，AD=AE
∴ △ABC～△ADE……………………………（2分） ∴ ∠ E=∠ ACB=∠ B ∵ AE//BC
∴ ∠ EAB+∠ E=∠ EAB+∠ B=180o……（1分） ∴ AB//ED……………………………………（2分） ∴ 四边形ABDE是平行四边形 （2）证明：
∵ AB=AC，M是BC中点
A E B
C 图（1） A D
E N
B ∴ AM⊥BC，AM平分∠ BAC………………（1分） 同理AN⊥DE，AN平分∠ DAE……………（1分） ∵∠ MAN=∠ MAC+∠ CAD+∠ DAN ∠ BAD=∠ BAM+∠ MAC+∠ CAD
∴∠ MAN=∠ BAD …………………………（1分） ∵△ABC～△ADE ∴
ABAM……………………………………………………………………（1分） ?ADAN在△ABD和△AMN中
?ABAD??∴?AM AN???MAN??BAD∴△ABD～△AMN．………………………………………………………………（1分） （3）当x?242?4两圆外切 ………………………………………………（2分） 7当4?x?
242?4242?4时两圆相交……（1分）；x?两圆外离. ……（1分 77
上海市闸北区2014年中考二模数学试题及答案
