第三篇 导数及其应用
第1讲 导数的概念及运算
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、填空题
1．(2014·深圳中学模拟)曲线y＝x3在原点处的切线方程为________． 解析 ∵y′＝3x2，∴k＝y′|x＝0＝0， ∴曲线y＝x3在原点处的切线方程为y＝0. 答案 y＝0
2．已知f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________. 解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1， 由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e. 答案 e
3．(2014·辽宁五校联考)曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是________．
3
解析 由题意知y′＝x＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0的坐标是(1,3)． 答案 (1,3)
4．(2014·烟台期末)设函数f(x)＝xsin x＋cos x的图象在点(t，f(t))处切线的斜率为k，则函数k＝g(t)的部分图象为________．
解析 函数f(x)的导函数为f′(x)＝(xsin x＋cos x)′＝xcos x，即k＝g(t)＝tcos π
t，则函数g(t)为奇函数，图象关于原点对称，排除①，③.当0＜t＜2时，g(t)＞0，所以排除④，选②. 答案 ② 5．曲线y＝
sin x1?π?
－2在点M?4，0?处的切线的斜率为________．
??sin x＋cos x
1＝， 2
?sin x＋cos x?1＋sin 2xcos2x＋sin2x
解析 y′＝
1
故所求切线斜率k＝ ＝2. 1
答案 2
6．(2013·广东卷)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
11解析 y′＝2ax－x，∴y′|x＝1＝2a－1＝0，∴a＝2. 1
答案 2
7．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f′(2)＝________. 解析 由题意得f′(x)＝2x＋3f′(2)， ∴f′(2)＝2×2＋3f′(2)，∴f′(2)＝－2. 答案 －2
8．(2013·江西卷)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 解析 y′＝αx答案 2 二、解答题
9．求下列函数的导数：
α－1
，∴斜率k＝y′|x＝1＝α＝
2－01－0
＝2，∴α＝2.
(1)y＝ex·ln x； ?211?(2)y＝x?x＋x＋x3?；
??xx
(3)y＝x－sin 2cos 2； ?1?
(4)y＝(x＋1) ?－1?.
?x?
1?1x?
?ln x＋x?. 解 (1)y′＝(ex·ln x)′＝exln x＋ex·＝ex??12
(2)∵y＝x3＋1＋2，∴y′＝3x2－3.
xx(3)先使用三角公式进行化简，得 xx1
y＝x－sin 2cos 2＝x－2sin x，
11?1?
∴y′＝?x－2sin x?′＝x′－2(sin x)′＝1－2cos x.
??11
(4)先化简，y＝x·－x＋－1＝
xx∴y′＝ n ＝－
1?1?
?1＋x?.
?2x?
，
1
10．(2014·南通二模)f(x)＝ax－x，g(x)＝ln x，x＞0，a∈R是常数． (1)求曲线y＝g(x)在点P(1，g(1))处的切线l.
(2)是否存在常数a，使l也是曲线y＝f(x)的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由．
1
解 (1)由题意知，g(1)＝0，又g′(x)＝x，g′(1)＝1，所以直线l的方程为y＝x－1.
(2)设y＝f(x)在x＝x0处的切线为l，则有 1ax－??0x＝x0－1，
?1
＝1，??a＋x20
0
x＝2，??0
解得?3
a＝，??4
此时f(2)＝1，
3
即当a＝4时，l是曲线y＝f(x)在点Q(2,1)的切线．
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、填空题
1．(2014·盐城一模)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处切π??
线倾斜角的取值范围是?0，4?，则点P横坐标的取值范围是________．
??解析 设P(x0，y0)，倾斜角为α，y′＝2x＋2，则k＝tan α＝2x0＋2∈[0,1]，1??
解得x0∈?－1，－2?.
??1??－1，－?答案 2???
2．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝f′n－1(x)，n∈N*，则f2 013(x)＝________.
解析 f1(x)＝f0′(x)＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝sin x，…，由规律知，这一系列函数式值的周期为4，故f2
013(x)f1(x)＝cos x.
答案 cos x
3．(2014·武汉中学月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012的值为________． 解析 f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1， 点P(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)， 令y＝0，得x＝1－
1n＋1
＝
nn＋1
，即xn＝
nn＋1
，
1232 0112 0121
∴x1·x2·…·x2 012＝2×3×4×…×2 012×2 013＝2 013，则log2 013x1＋log2 013x2＋…＋log2 013x2 012 ＝log2 013(x1x2…x2 012)＝－1.
答案 －1 二、解答题
b
4．设函数f(x)＝ax－x，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．
7
(1)解 方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
41b
当x＝2时，y＝2.又f′(x)＝a＋x2，于是?b7
a＋??4＝4，?a＝1，3
解得?故f(x)＝x－x.
?b＝3.
(2)证明 设P(x0，y0)为曲线上任一点，
3?3?
由f′(x)＝1＋x2知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝?1＋x2?(x－x0)，
?0?3?3?6
即y－(x0－x)＝?1＋x2?(x－x0)．令x＝0，得y＝－x，从而得切线与直线x＝
?0?006??
0交点坐标为?0，－x?.
?0?
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)． 1?6?
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为2?－x?|2x0|
?0?＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6.
b1??2a－2＝2，
创新设计高考数学苏教文一轮题组训练：导数的概念及运算
