（1）由题设知：点M的轨迹E是以F为焦点，以直线y??1为准线的抛物线，由此能求出E的方程；
?y?4k?1ly?kx?1（2）设1：，A?x1,y1?，B?x2,y2?，由?2，得x2?4kx?4?0，根据抛物线
?x?4y的性质以及韦达定理得到：AB?AF?BF?y1?y2?2?4k?4?12，解得k即可求出直线的方程. 【详解】
（1）Q点M到点F?0,1?的距离比它到直线l：y??2的距离小1，
2?点M在直线l的上方，
?点M到F?0,1?的距离与它到直线l?：y??1的距离相等，
?点M的轨迹E是以F为焦点，以直线l?为准线的抛物线，所以E的方程为x2?4y；
（2）由题意，设l1：y?kx?1，A?x1,y1?，B?x2,y2?， 由??y?4k?1得x2?4kx?4?0， 2?x?4y2则x1?x2?4k，y1?y2?kx1?1?kx2?1?4k?2，
又AB?AF?BF?y1?y2?2?4k?4?12， 解得k??2，经检验满足题意. 即所求l1的直线方程：y??2x?1. 【点睛】
本题主要考查轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线位置关系，考查运算能力和逻辑思维能力，属于中档题.
20．（2024·辽宁实验中学高三月考）对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大7:15的挑战，而咬牙起床的唯一动力，就是上学能够不迟到．己知学校要求每天早晨7:15之前到校，之后到校记为迟到．小明每天6:15会被妈妈叫醒起味，吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时，故每天6:45小明就可以出门去上学．从家到学校的路上，若小明选择步行到校，则路上所花费的时间相对准确，若以随机变量X（分钟）表示步行到校的时间，可以认为X?N?22,4?．若小明选择
2
骑共享单车上学，虽然骑行速度快于步行，不过由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加，若以随机变量Y（分钟）描述骑车到校的时间，可以认为Y?N?16,16?．若小明选择坐公交车上学，速度很快，但是由于等车时间、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性进一步增加，若以随机变量Z（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为Z?N?10,64?． （1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来已经是6:40了，他抓紧时间洗漱更衣，没吃早饭就出发了，出门时候是6:50．请问，小明是否有某种出行方案，能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？
（2）已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量?表示这五天小明上学骑车的费用，求?的期望与方差（此小题结果均保留三位有效数字） 已知若随机变量??N?0,1?，则P??1???1??68.26％，P??2???2??95.44％，
P??3???3??99.74％．
【答案】（1），三种方案都无法满足3?原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择（2）E????5.79（元），D????0.668（元2） 【解析】 【分析】
（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．若他选择步行到校，则不迟到的概率记为P1?X?25?，求出P2?X?25?， 1?X?25??97.72％．若骑车到校，则不迟到概率记为PP2?X?25??（97.72％，99.87％），若坐公交车到校，则不迟到的概率记为P3?X?25?， P（2）取随机变量?1表示五天里骑车上学时间单程超过3?X?25??97.72％．比较即可做出选择；
20分钟的天数．先求出E??1?和D??1?，再求?的期望与方差. 【详解】
（1）依题意，小明需要在25分钟内到达学校．
若他选择步行到校，则不迟到的概率记为P1?X?25?，取?1?22，?1?2， 则?1??1?24，?1?2?1?26，
P1?X?25??P1?X?26??1?1?95.44％?97.72％．
2若骑车到校，则不迟到的概率记为P2?X?25?，取?2?16，?2?4， 则?2??2?20，?2?2?2?24，?2?3?2?28，
％?2?97.72％， 则P2?X?24??1??1?95.44P％?2?99.87％， 2?X?28??1??1?99.74∴P2?X?25??P2?X?24?,P2?X?28??（97.72％，99.87％） 若坐公交车到校，则不迟到的概率记为P3?X?25?，取?3?10，?3?8， 则?3??3?18，?3?2?3?26，P3?X?25??P3?X?26??97.72％．
综上，三种方案都无法满足3?原则，不能保证上学不迟到．相对而言，骑车到校不迟到的概率最高，是最优选择．
（2）取随机变量?1表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数． 依题意，每天骑车上学时间超过20分钟的概率为P2?X?20??∴?1?B?5,15.87％?，∴E??1??5?15.87％?0.7935，
???1?68.26％??15.87％，
2D??1??5?15.87％??1?15.87％??0.668．
又∵??2?1??5??1??5??1，
∴E????5?E??1??5.79（元），D????D??1??0.668（元2） 【点睛】
本题主要考查正态分布的计算，考查期望和方差的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 21．（2024·重庆巴蜀中学高三月考（理））已知函数f?x??xlnx. （1）求f?x?的单调区间与极值；
3???x?ln?x2?x??e?0（2）若不等式?对任意x??1,3?恒成立，求正实数?的取值范围. 2?x?32
【答案】（1）单减区间为?0,?,f?x?的单增区间为?,???,f?x?极小值????1?e??1?e??1,无极大值.（2）e??ln1327 2【解析】 【分析】
（1）因为f?x??xlnx,定义域为?0,???,则f??x??1?lnx,即可求得f?x?的单调区间与极值;
?x?23??x?e3lnx?x???02,x?x?0,将其化简可得（2）?故32?x2?x?22?23??23??x?x?x??ln?x?x???x?e,
2??2??3??1??f?x2?x??f?e?x?,由（1）知f?x?在?,???上单
2???e??23?3ln2?x?x?x?,即可求得正实数?的取值范围. 增,x?x?e,2????2x【详解】
（1）Q f?x??xlnx
? f??x??1?lnx,定义域为?0,???,
又?f??x??0,x?11,f??x??0,0?x?. ee?1??1??f?x?的单减区间为?0,?,f?x?的单增区间为?,???
?e??e?1?1?11?f?x?极小值?f???ln??,无极大值.
e?e?ee?x?23??x?e3lnx?x???02x?x?0 ,（2）Q ?故32?x2?x?22?x?23??x?e?23??23?lnx?x???0?x?将?x?x?lnx?x??x?e: , 化简可得3????22??x?x2??2??2
3???f?x2?x??fe?x.
2????Qx2?3x?2,e?x?e0?1, 2?1??由（1）知f?x?在?,???上单增,
?e??x2?3x?e?x, 23??ln?x2?x??23???x?ln?x?x?,即2?.
2?????x3??ln?x2?x?令2?, h?x???x32?ln?x2?3x??? 32??x?2?h??x??x22x?32?ln?x2?3x?, 令k?x????32??x?22x?3393?2?32x??2x?3x?2x???11224?022?kx????????, 则2??332333??3??xx?xx??x??x?x??x???x??222?2?2?2???? k?x?在?1,3?上单减,k?1??75527?ln?0,k?3???ln?0, 5232??x0??1,3?,k?x0??0且在?1,x0?上,k?x??0,h??x??0,h?x?单增,
在?x0,3?上,k?x??0,h??x??0,h?x?单减.
5?h?x?min?min?h?1?,h?3??,h?1??ln,h?3??2?h?1??h?3?
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备战2024高考数学(理科)全真模拟卷含答案解析16
