高等数学下册公式总结
1、N维空间中两点之间的距离公式：p(x1,x2,...,xn),Q(y1,y2,...,yn)的距离
PQ?(x1?y1)2?(x2?y2)2?...?(xn?yn)2
2、多元函数z?f(x,y)求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时
看作常量。比如，就可以了。
?z表示对x求偏导，计算时把y 当作常量，只对x求导 ?x?2z?2z?3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即。 ?x?y?y?x4、多元函数z?f(x,y)的全微分公式： dz??z?zdx?dy。 ?x?y5、复合函数z?f(u,v),u??(t),v??(t)，其导数公式：
dz?zdu?zdv。 ??dt?udt?vdt?FXdy6、隐函数F(x,y)=0的求导公式： ??，其中Fx?,Fy?分别表示对x,y
?dXFy求偏导数。 方程组的情形：{F(x,y,u,v)?0的各个偏导数是：
G(x,y,u,v)?0FFuxGG?uux??，?yFFuvGGuvFFyvGGyvFFuvGGuvFFxvGG?u?vxv????，?x?xFFuvGGuv，
?v。 ???yFFuvGGuvFFyuGGuy7、曲线?的参数方程是：x??(t),y??(t),z??(t)，则该曲线过点
M(x0,y0,z0)的法平面方程是：
??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0
切线方程是：
(x?x0)(y?y0)(z?z0)??。
??(t0)??(t0)??(t0) .
8、曲面方程F(x,y,z)＝0在点M(x0,y0,z0)处的 法线方程是：
(x?x0)(y?y0)(z?z0)， ????FxFyFz??(x?x0)?Fy?(y?y0)?Fz?(z?z0)?0。 切平面方程是：Fx9、求多元函数z=f(x , y)极值步骤：
第一步：求出函数对x , y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y的值 第二步：求出fxx(x0,y0)?A,fxy(x0,y0)?B,fyy(x0,y0)?C
第三步：判断AC-B2的符号，若AC-B2大于零，则存在极值，且当A小于零是极大值，当A大于零是极小值；若AC-B2小于零则无极值；若AC-B2等于零则无法判断 10、二重积分的性质： （1）（2）(3)
??kf(x,y)d??k??f(x,y)d?
DD??[f(x,y)?g(x,y)]d????f(x,y)d????g(x,y)d?
DDDDD1D2??f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?
(4)若f(x,y)?g(x,y)，则（5）
??f(x,y)d????g(x,y)d?
DD??d??s，其中s为积分区域D的面积
D（6）m?f(x,y)?M，则ms?（7）积分中值定理：
??f(x,y)d??Ms
D??f(x,y)d??sf(?,?)，其中(?,?)是区域D中的点
DdP2(y)11、双重积分总可以化简为二次积分（先对y，后对x的积分或先对x，后对y的积分形式）
bP2(x)??f(x,y)d???dx?DaP1(x)f(x,y)dy??dycP1(y)?f(x,y)dx，有的积分可以随意选择积分次序，
但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定
12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法 13、曲线、曲面积分：
（1）对弧长的曲线积分的计算方法：设函数f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为
?x??(t)y??(t)，(??t??)，则
?Lf(x,y)ds??f[?(t),?(t)]??2(t)???2(t)dt
??（2）格林公式：
??(D?Q?P?)dxdy??x?y?Pdx??Qdy
LL14、向量的加法与数乘运算：a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2)，则有ka?(kx1,ky1,kz1)，
.
?a??b?(?x1??x2,?y1??y2,?z1??z2)，若ab，则
x1y1z1?? x2y2z215、向量的模、数量积、向量积：若a?(x1,y1,z1),b?(x2,y2,z2)，则向量a的模长
a?x12?y12?z12；数量积（向量之间可以交换顺序，其结果是一个数值）ab＝
ba?x1x2?y1y2?z1z2＝ba?abcos?a,b?，其中?a,b?表示向量b,a的夹角，且
若a?b，则有ab＝0；向量积（向量之间不可以交换顺序，其结果仍是一个向量）
ia?b?x1x2jy1y2kz1?(y1z2?y2z1)i?(x2z1?x1z2)j?(x1y2?x2y1)k，其中i,j,k是x轴、z2?y轴、z轴的方向向量
16、常数项无穷级数?un?u1?u2?u3?...?un?...，令sn?u1?u2?u3?...?un称为无
n?1穷级数的部分和，若limsn?s，则称改级数收敛，否则称其为发散的。其中关于无穷级数
x??的一个必要非充分地定理是：若?un收敛，则必有limun?0
n?1?x??17、三种特殊的无穷级数： （1）调和级数??1是发散的，无须证明就可以直接引用 n?1n?（2）几何级数?aqn，当q?1时收敛，当q?1时发散
n?1（3）p级数?1，当p?1时收敛，当p?1时发散 pn?1n?18、正项级数?un的判敛方法：
n?1?（1）比较判敛法：若存在两个正项级数?un，?vn，且有vn?un，若un收敛，则vn收
n?1n?1??敛；若vn发散，则un发散
（2）比较判敛法的极限形式：若limun?l,(l?0)，则un和vn具有相同的敛散性
x??vnun?1?l，若l?1，则原级数收敛，若l?1，则原级
x??un（3）比值判敛法：对于?un， limn?1?数发散
19、交错级数?(?1)n?1?n?1un的判敛方法：同时满足un?un?1及limun?0，则级数收敛，否
x?? .
则原级数发散
20、绝对收敛和条件收敛：对于?un，若?un收敛，则称其绝对收敛；若?un发散，
n?1n?1
n?1
??
?
但是?un收敛，则称其条件收敛
n?1?21、函数项无穷级数形如：?un(x)?u1(x)?u2(x)?u3(x)?...?un(x)?...，通常讨论的是
n?1?幂级数形如：?anxn?a0?a1x?a2x2?a3x3?...?anxn?...，
n?0?（1）收敛半径及收敛区间：liman?11??,则收敛半径R?，收敛区间则为(?R,R)，但
x??a?n是要注意的是，收敛区间的端点是否收敛需要用常数项级数判敛方法验证
(2n?1)?xnn-1x（-1）（2）几种常见函数的幂级数展开式：e??，sinx??，
n?1n?0n!(2n?1)!x???x2n11ncosx??(?1)，??x，??(?1)nxn
n?0(2n)!1?xn?01?xn?0?n22、常微分方程的类型及解题方法：
（1）可分离变量的微分方程：y??f(x,y)，总是可以分离变量化简为式，然后等式两边同时积分，即可求出所需的解
（2）齐次方程：y??f(x,y)，不同的是，等式右端的式子总是可以化简为f()的形式，令
dydx?的形f(y)f(x)yxy?u，则原方程化简为可分离变量方程形式u?xu??f(u)来求解 x（3）一阶线性微分方程：形如y??p(x)y?f(x)的方程，求解时首先求出该方程对应的齐次方程y??p(x)y?0的解y?cQ(x)，然后使用常熟变易法，令c?u(x)，把原方程的解
y?u(x)Q(x)带入原方程，求出u(x)，再带入y?u(x)Q(x)中，即求出所需的解
（4）全微分方程：形如p(x,y)dx?Q(x,y)dy?0的方程，只要满足
xy?p(x,y)?Q(x,y)?，?y?x则称其为全微分方程，其解为u??0p(x,y)dx??Q(x,y)dy
0（5）二阶微分方程的可降阶的三种微分方程：
第一种：y???f(x)的形式，只需对方程连续两次积分就可以求出方程的解
第二种：y???f(x,y?)的形式，首先令y??z，则原方程降阶为可分离变量的一阶微分方程
.
z??f(x,z)的形式，继续求解即可
第三种：y???f(y,y?)的形式，同样令y??z，由于y???z??dzdzdydz??y?，所以dxdydxdy原方程转化为一阶微分方程
dzz?f(y,z)的形式，继续求解即可 dy（6）二阶常系数齐次微分方程：y???py??qy?0，求解时首先求出该方程对应的特征方
2程r?pr?q?0的解r1,r2，若实根r1?r2，则解为y?c1e1?c2e2；若实根r1?r2，则解ax为y?(c1?c2x)e1；若为虚根a?bi，则解为y?e(c1cosbx?c2sinbx)
rx（8）二阶常系数非齐次微分方程：y???py??qy?Pm(x)e，求解时先按（7）的方法求其rxk对应的齐次微分方程的通解y1，然后设出原方程的特解y?＝xQm(x)e，其中Qm(x)是
rxrxrx和Pm(x)同次的多项式，含有相应的未知系数，而k根据特征方程的解r1,r2与r的关系取值，若r与特征根不相等，则k取0；若r和一个特征根相等，则k取1；若r和特征根都相等，则k取2，将特解代入原方程求出相应的未知系数，最终原方程的解即通解加上特解，即
y?y1?y?
.
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