第二章 矩阵
一、知识点复习
1、矩阵的定义
由mn个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个mn型矩阵。例如
2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2
2 5 4 -2 9
3 3 3 -1 8 是一个45矩阵.
一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。 元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。
两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。
2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵
行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。
下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.
单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.
对称矩阵: 满足AT
=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.
反对称矩阵:满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的
元素之和总等于0的n阶矩阵. 反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)
正交矩阵：若AAT=ATA=E，则称矩阵A是正交矩阵。
（1）A是正交矩阵?AT
=A-1
（2）A是正交矩阵?A2=1
阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ① 如果它有零行，则都出现在下面。
② 如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增。
把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。
请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零行数和台角位置是确定的。
3、矩阵的线形运算
（1）加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减).
（2）数乘: 一个mn的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,运算法则为A的每个元素乘c.
这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:
① 加法交换律: A+B=B+A. 2加法结合律: (A+B)+C=A+(B+C).
③ 加乘分配律: c(A+B)=cA+cB.(c+d)A=cA+dA. ④ 数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ cA=0 c=0 或A=0.
4、矩阵乘法的定义和性质
（1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量
和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.
即：Am?sBs?n?Cm?n
矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:
① 矩阵乘法有条件. ② 矩阵乘法无交换律. 即AB?BA ③ 矩阵乘法无消去律：即一般地由AB=0推不出A=0或B=0. 由AB=AC和A0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A0推不出B=C. (无
右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.
矩阵乘法适合以下法则:
① 加乘分配律 A(B+C)= AB+AC, (A+B)C=AC+BC.
② 数乘性质 (cA)B=c(AB). ③ 结合律 (AB)C= A(BC)
（2）n阶矩阵的方幂和多项式
任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质: |AB|=|A||B|.
如果AB=BA,则说A和B可交换.
方幂 设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k
即k个A的连乘积.规定A 0
=E
.显然A
的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:
① A kA h= A k+h
.② (A k)h= A kh
.
但是一般地(AB)k
和A kB k
不一定相等! n阶矩阵的多项式：
设f(x)=am
m-1
mx+am-1x+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定 f(A)=a m
mA+am-1A m-1
+…+ a
1A+a0E.
称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.
乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n阶矩阵互相都是互相可交换的,则乘法公式成立.例如当A和B可交换时,有:
(AB)2=A22AB+B2; A2-B2=(A+B)(A-B)=(A+B)(A-B).
二项展开式成立: (A?B)??CA?B等等.
?1前面两式成立还是A和B可交换的充分必要条件.
(3)乘积矩阵的列向量组和行向量组
设A是mn矩阵B是ns矩阵，A的列向量组为
1
,
2
,…,
n
，B的列向量
组为
1
,
2
,…,
s
，AB的列向量组为
1
,
2
,…,
s
，则根据矩阵乘法的定义
容易看出(也是分块法则的特殊情形):
① AB的每个列向量为:
i
=Ai
,i=1,2,…,s.即
A(
1
,
2
,…,
s
)= (A1
,A2
,…,As
).
② =(b,bT
1,b2,…n),则A= b11+b2
2
+…+bnn
.应用这两个性质可以得到:
如果T
i=(b1i,b2i,…,bni),则
i=AI=b1i1+b2i2+…+bnin.
即:乘积矩阵AB的第i个列向量i
是A的列向量组1
,
2
,…,
n
的线性组
合，组合系数就是B的第i个列向量
i
的各分量。
类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合，组合系数就是A的第i个行向量的各分量。
以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.
利用以上规律容易得到下面几个简单推论: ① 用对角矩阵
从左侧乘一个矩阵,相当于用
的对角线上的各元素依次乘
此矩阵的各行向量， 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量。
???1????1?mAm?n???2??????1a1?????a?????2?????22? 3?????????3a3??m???4???4a4????1??A?m??a1a2a3a4???2?????1a2a2?3a3?4a4????1????m? ② 数量矩阵kE乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵。
③ 两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘。 ④ 求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂。
5、矩阵的行列式
A为n阶方阵，由A的元素所构成的行列式称为A的行列式，表示为|A|。
若A的行列式|A|?0，称A为非奇异方阵，|A|=0，称A为奇异方阵
|AB|=|A||B| |cA|=Cn
|A|.
6、矩阵的转置
把一个mn的矩阵A行和列互换，得到的nm的矩阵称为A的转置，记作A T(或A)。有以下规律：
①(AT)T= A. ②(A+B)T=AT+BT. ③(cA)T=cAT. ④(AB)T=BTAT. ⑤|AT|=|A| 7、矩阵的等价
定义：两个矩阵如果可以用初等变换互相转化,就称它们等价.
矩阵的等价的充分必要条件为它们类型相同,秩相等.
命题：两个m*n 矩阵A与 B等价的充要条件是存在m阶满秩矩阵P
及n阶满秩矩阵Q，使得A=PBQ 8、矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)
(1) 矩阵方程
矩阵不能规定除法，乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程: (I) AX=B. (II) XA=B.
这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵，在此条件下，这两个方程的解都是存在并且唯一的(否则解的情况比较复杂.)。
当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解. 如果B有s列,设 B=(1
,
2
,…,
s
),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,Xs),
则有AXi=
i
,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组，由克莱姆法则,它们都有唯一解，
从而AX=B有唯一解。这些方程组系数矩阵都是A，可同时求解，即得
(I)的解法：将A和B并列作矩阵(A|B)，对它作初等行变换，使得A变为单位矩阵,此时B变为解X (A|B)(E|X)。
(II)的解法：对两边转置化为(I)的形式:ATXT
=BT
，再用解(I)的方法求出XT
，转置得X.
：(AT
|BT
)(E|XT
)
矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解。
(2) 可逆矩阵的定义与意义
定义：设A是n阶矩阵，如果存在n阶矩阵B，使得AB=E， BA=E，则称A为可逆矩阵，此时B是唯一的，称为A的逆矩阵，通常记作A-1
。
如果A可逆，则A在乘法中有消去律：
AB=0B=0；AB=ACB=C.(左消去律)； BA=0
B=0；BA=CA
B=C. (右消去律)
如果A可逆，则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边)： AB=C
B=A-1
C，BA=C
B=CA-1
由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法：
(I) AX=B的解X=A-1
B (II) XA=B的解X= BA-1
.
这种解法想法自然，好记忆，但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).
(3) 矩阵可逆性的判别与性质
定理 n阶矩阵A可逆
|A|0.
证明 充分性：对AA-1
=E两边取行列式,得|A||A-1
|=1,从而|A|0. (并且|A-1
|=|A|-1
.)
必要性：因为|A|0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.
推论 如果A和B 都是n阶矩阵,则AB=EBA=E.
于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵. 可逆矩阵有以下性质:如果A可逆,则
① A-1
也可逆,并且(A-1)-1
=A. ② AT
也可逆,并且(AT)-1
=(A-1)T
. ③ 当c0时, cA也可逆,并且(cA)-1
=c-1A-1
.
④ 对任何正整数k, Ak
也可逆,并且(Ak)-1
=(A-1)k
.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k
=(Ak)-1
=(A-1)k
.)
⑤ 如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1
=B-1A-1
.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)
⑥ 初等矩阵都是可逆矩阵,并且
E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1
= E(i,j(-c)).
(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵
① 计算逆矩阵的初等变换法
当A可逆时, A-1
是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换或列变换求A-1
: 初等行变换：?A|E??E|A?1
初等列变换：??A??E?????E??A?1?? 这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.
② 伴随矩阵
若A是n阶矩阵，记Aij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式，规定A的伴随矩
阵
A11 A21 … An1 A*= AT
12 A22 … An2 =(Aij).
????
A1n A2n … Amn
请注意，规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆，但是在A可逆时, A*和A-1
有密切关系。
基本公式: ① AA*=A*A=|A|E. ② A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.
因此可通过求A*来计算A-1
.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.
和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵
a b * d -b c d = -c a ,
?1因此当ad-bc0时, ??ab??cd???1?d?b?ad?bc??ca ??? 二 例题
一、填空题 1．设
1
,
2
,
3
, , 均为4维向量, A = [
1
,
2
,
3
, ], B = [
1
,
2
,
3
, ], 且|A| = 2, |B| = 3, 则|A－3B| = ______.
解：|A?3B|??2?1?2?2?2?3??3?=?8??1?2?3??3?
=?8?(?1?2?3??3?1?2?3?)??8(|A|?3|B|)?56
2． 设A??aaTT12Lan?，则AA? ，AA? ．
?a解：AAT???1?a1,aa?2?an??2???a21?a22???a2n
????a?n???a21a1a2?a1an?AAT??a1??a??2?a22?aa?2n?? ???a1,a2?an???a1a2????????a??n???a1ana2an?a2?n??3．若对任意n×1矩阵X, 均有AX = 0, 则A = ______.
解：假设A???1??m?,
i
是A的列向量。对于j = 1, 2, …, m,
XTj??0?1?0?，第j个元素不为0，所以??1??m??0?1?0?T??j?0 (j = 1, 2, …, m).，A = 0。
4．设n维向量??(1,0,?,0,1), 矩阵A?E??T?, B?E?2?T22?其中E为n阶单位矩阵, 则AB =
解：AB??E?aTa??E?2aTa??E?aTa?2aTa?aTa?E 5．设矩阵A???1?1??23??,B?A2?3A?2E,则B?1= ______. 解：A2???1?1??1?1???1?4?23?????23?=???87?? B?A2?3A?2E=??1?4??3?3??20??－ + 2?=??2?1?87????69????0????20? ? B?1?B*1?01?|B|?2?=?01??2?2?????2? ??1?1?? 或者：???2?110???2?110???20?20??01?????0?1??11????0?1??111 ?0????6．设n阶矩阵A满足A2?2A?3E?0,则A?1= ______.
解：由A2?2A?3E?0,得A(A?2E)??3E. 所以|A||A?2E|?|?3E|?0,
于是A可逆. 由A2?2A?3E?0,得A?2E?3A?1?0,A?1??13(A?2E) 7．设?101???201?A???020??,则(A?3E)?1(A2?9E)=______.答案：A?3E??? ?0?10??001?????00?2??8．若A2-2A+E=0，则（A-2E）-1
=
解：A2?2A??E?A?A?2E???E??A?A?2E??E??A?2E??1??A二、单项选择题
线性代数第二章矩阵试题及答案
