百度文库 - 让每个人平等地提升自我
一、填空题： 1．设函数z?z(x,y)是由
?xz?ln所确定，则dz?0,1,1??dx?dy ． zy?n2．设幂级数?anx的收敛区间为??3,3?，则幂级数?an?x?1?的收
nn?0n?0敛区间为 ??2,4? ．
??x,???x?0?3．设函数f(x)??的付氏级数的和函数为S(x)，则S(5?)?．
2?0,0?x??y4．设z?f(x,)，其中f具有连续的二阶偏导数，则
x11y?2z?????? ． f?f22 = f12223x?x?yxx5．设幂级数?an?x?1?在x?0处收敛，而在x?2处发散，则幂级数?anxn的
n?0n?0?n?收敛域为 [?1,1)．
n?1??n(?1)6．函数f(x)?关于x的幂级数展开式为 ??1x,x?(?1,1) ． 2??n?1x?x?2n?0?2??37．设函数z?xy，则dz(2,1)? dx?2ln2dy
8．曲线x?t,y??t2,z?t3的切线中，与平面x?2y?3z?6垂直的切线
方程是9．设zx?1y?1z?1??． 1?23?z(x,y)是由方程ez?zsin(xy)?lna a?0为常数所确定的二元
yzcos(xy)xzcos(xy)dx?dy． zze?sin(xy)e?sin(xy)函数，则 dz?10.旋转抛物面z?x2?y2的切平面： 4x?4y?8z?1?0，
平行与已知平面x?y?2z?1.
1x2?C1e11．微分方程2y???y??y?0的通解为 Y1
?C2e?x，
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
2y???y??y?ex的通解为 y1x2?C1e1?C2e?x?ex．
2x??eucosudu,y?2sint?cost,z?1?e3t在点?0,1,2?处的切线方程为 12.曲线?：0tx413．函数f(x)?的麦克劳林级数的第5项为?5，收敛域为(?4,4).
x?4414.．已知函数
f(x,y)?2x?3y?xa?yb（其中a,b是大于1的实数）,有一
b?3， 此时函数f(x,y) 的极大值为 3.
个极值点(1,1)， 则a?2,15.试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数：分解已知正数a为三个正数
x,y,z之和，使x,y,z的倒数之和最小L?x,y,z??111?????x?y?z?a? xyz16函数f(x)?xln?1?x?的麦克劳林级数的收敛域为x???1,1?，f(5)(0)?-30 二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号内。
?(x0,y0)， 1．二元函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx?(x0,y0)存在是f(x,y)在该点连续的 【 D 】 fy（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件
?(x0,y0)存在是?(x0,y0)，fy2．函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fxf(x,y)在该点可微分的 【 B 】
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件
3．设z?z(x,y)是由方程F(x?az,y?bz)?0所确定的隐函数，其中F(u,v)是可微函数，a,b为常数，则必有 【 A 】
2
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
（A）a?z?b?z?1 （B）b?z?a?z?1（C）a?z?b?z?1 （D）b?z?a?z?1
?x?y?x?y?x?y?x?yd2ydy4．微分方程2?2?y?ex特解y*的形式为 【 C 】
dxdx（A）Aex （B）Axex （C）Ax2ex （D）(Ax?B)x2ex 5．若级数?an收敛，则下列结论正确的是 【 B 】
n?1?2an? （A）??n?1收敛 （B）?(an?an?1)收敛
n?1n??（C）?(?1)an收敛 （D）?an收敛
n?1n?16．下列级数中条件收敛的是 【 B 】
???(?1)nnnn（A）?(?1) （B）?(?1) （C）?2 （D）?(?1)nnn?1n?1n?1n?1n?1n?1?nn?1 n27．曲面2x2?y2?3z2?6在点(1,1,?1)处的切平面方程为 【 C 】 （A）x?2y?3z?6 （B）x?4y?3z?6 (C) 2x?y?3z?6 (D) x?y?3z?6 8． 原点(0,0)是函数
f(x,y)?xy?y2的 【 C 】
（A）极小值点 （B）极大值点 （C）驻点却不是极值点 （D）非驻点
9．下列方程中是一阶线性微分方程是 【 D 】 （A）(x2?y)dx?(x?y)dy?0 （B）dy?(lny?lnx)dx （C）yy??2y?5x （D）xy??2y?5x 10．设p为常数，则级数
?n?1?(?1)nn?p22 【 B 】
（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与p有关
xx????x11.设?2x?ey?dx??1??eydy是函数u(x,y)的全微分，则其中一个u(x,y)为 ????y????3
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
2 (A) y?x?ye (B) x2?e?1
xyxy （C） x?ye?1 （D）x2?e?x
2xyxyy???1?n1?12.级数??的敛散情况是 【 C 】 ????n?nn?1??（A） 条件收敛 （B）绝对收敛 （C） 发散 （D）敛散性不能确定 三、计算下列各题：
1.设z?fxy,siny?g(ye)，其中函数f,g具有二阶连续偏导数，
?2?x?z?2z求，． ?x?x?y?z2x?2z???fy?gye解： ，??2xy?f12??cosy)?g?ex?g??ye2x. ?2yf1??y2(f111?x?x?y2. 设u?f(z)，函数f可导，且方程z?ez?u求． ?2xy?3确定了函数z?z(x,y)，?x【 解 】 因
?u?z?f?(z)，方程z?ez?2xy?3两端对x求偏导，得 ?x?x?z?z?z2y?u?z2y?ez?2y?0， 解得?z?f?(z)?f?(z)z，故。 ?x?x?xe?1?x?xe?1(?1)n3. 求级数?的和。
n?02n?1?(?1)n2n?1u(x)2n?322?lim?x?x， 【 解 】考查幂级数?x，因 limn?1n??u(x)n??2n?1nn?02n?1?所以，当x?1，即x?(?1,1)时，幂级数绝对收敛。在x??1处，原幂级数成
2(?1)n2n?1为收敛。故，幂级数的收敛域为[?1,1]，在[?1,1]内，设S(x)??x，
n?02n?1?上式两边对x求导，S?(x)??(?1)nx2n?n?0?1，该式两边从0到x积分，得 21?x S(x)?S(0)??1dx?arctanx
01?x2x又S(0)?0，因此S(x)?arctanx,x?[?1,1]
4
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
?(?1)n?arctan1? 故 ?4n?02n?1?4．求原点到曲面z2?xy?x?y?4的最短距离。
【 解 】设点M?x,y,z?为曲面z2?xy?x?y?4上任一点，则该点与原点距离的平方和为：f?x,y,z??d2?x2?y2?z2，只要求距离的平方和最小即可，约束条件：xy?x?y?4?z2?0，设 F?x,y,z??x2?y2?z2???xy?x?y?4?z2?
?Fx?2x???y?1??0??Fy?2y???x?1??0由 ?，解得x??1,y?1,z??1
?Fz?2z???2z?0?xy?x?y?4?z2?0?故，原点到曲面z2?xy?x?y?4的最短距离为：3．
(?1)n2nx的收敛域及和函数。 5．求幂级数?n?1n?un?1(x)n?122?lim?x?x 【 解 】因 limn??un(x)n??n所以，当x?1，即x?(?1,1)时，幂级数绝对收敛。在x??1处，原幂级数成
2(?1)n为?，收敛。故，幂级数的收敛域为[?1,1]在[?1,1]内，设n?1n??(?1)n2n?2xx， 上式两边对x求导，S?(x)?2?(?1)nx2n?1? S(x)??2n1?xn?1n?1?上式两边从0到x积分，得S(x)?S(0)??又S(0)?0，因此S(x)??ln(1?x2),?x?2xx201?dx??ln(1?x2)
x?[?1,1]
6．求幂级数?n(x?1)n的收敛域及和函数。
n?1【 解 】因 ??liman?1n?11?lim?1所以，半径R??1，幂级数在
n??ann??n?5
西南交通大学高等数学考试试卷
