第三节排列与组合
1．排列与排列数 (1)排列：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中
m
取出m个元素的排列数，记作An.
2．组合与组合数 (1)组合：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
(2)组合数：
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Cmn. 3．排列数、组合数的公式及性质
排列数 组合数 AmnmCn＝m Amn?n－1?…?n－m＋1?＝ m！＝nAn＝n！； mAn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) 公式 ＝n！ ?n－m?！n！ m！?n－m?！C0n＝1； 性质 0！＝1 n，m∈N*且m≤n mCn＝Cnn－－m_； m1mCn＋Cm＝Cn＋1 n备注 [小题体验]
1．将8种不同的菜种任选4种种植在不同土质的4块地里，不同的种植方法有( )
A．24 C．70
B．1 680 D．840
4
解析：选B 由题可得，不同的种植方法有A8＝8×7×6×5＝1 680种．
2．(教材习题改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有________种．
解析：依题意得知，满足题意的选法共有C1C1C14·3·2＝24种． 答案：24
3．(2019·舟山模拟)用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．
3解析：依题意得，满足题意的组成方法有C12A4＝48个．
答案：48
1．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
m2．计算An时易错算为n(n－1)(n－2)…(n－m)．
3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．
[小题纠偏]
221．方程3A3x＝2Ax＋1＋6Ax的解为________．
解析：由排列数公式可知
3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)， ∵x≥3且x∈N*，
∴3(x－1)(x－2)＝2(x＋1)＋6(x－1)， 即3x2－17x＋10＝0， 2
解得x＝5或x＝(舍去)，
3∴x＝5. 答案：5
2．已知圆上有9个点，则任取三点构成一个三角形，这样的三角形的个数为________． 9×8×7解析：由题可得，三角形的个数为C3＝84. 9＝3×2×1答案：84
考点一 排列问题?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]
有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻．
解：(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
3(2)分两步完成，先选3人站前排，有A7种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有
A3A47·4＝5 040(种)．
(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A6共有5×A66种排列方法，6
＝3 600(种)．
5法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A5种25
排法，共有A6A5＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排
4列，有A4A44种方法，共有A4·4＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安
3排男生，有A5种方法，共有A4A34·5＝1 440(种)．
[由题悟法]
求解排列应用问题的6种主要方法 直接法 优先法 捆绑法 插空法 定序问题除法处理 间接法 [即时应用]
1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A．324 C．328
B．648 D．360
把符合条件的排列数直接列式计算 优先安排特殊元素或特殊位置 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 正难则反、等价转化的方法 解析：选C 首先应考虑“0”，当0排在个位时，有A29＝9×8＝72(个)，当0排在十位
11时，有A1A24A8＝4×8＝32(个)．当不含0时，有A4·8＝4×8×7＝224(个)，由分类加法计数
原理，得符合题意的偶数共有72＋32＋224＝328(个)．
2．(2019·湖州调研)A，B，C，D，E等5名同学坐成一排照相，要求学生A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，则这5名同学坐成一排的不同坐法共有______种．(用数字作答)
解析：先排C，D，E学生，有A33种坐法，A，B不能同时坐在两旁，也不能相邻而坐，
2322
有A24－A2种坐法，则共有A3(A4－A2)＝60种坐法．
答案：60
3．(2019·诸暨模拟)将9个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个小球，且每个盒子中的小球个数都不同，则不同的放法有________种．
解析：根据要求，小球的分类有1＋2＋6；1＋3＋5；2＋3＋4三类．所以满足要求的不同的放法有3A33＝18种．
答案：18
考点二 组合问题?重点保分型考点——师生共研?
[典例引领]
某运动队有男运动员6名，女运动员4名，若选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员．
32
解：(1)任选3名男运动员，方法数为C6，再选2名女运动员，方法数为C4，共有C3C26·4
＝120(种)方法．
(2)法一：(直接法)至少1名女运动员包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男， 由分类加法计数原理可得总选法数为
4233241C14C6＋C4C6＋C4C6＋C4C6＝246(种)．
法二：(间接法)“至少有1名女运动员”的反面是“全是男运动员”，因此用间接法求
5
解，不同选法有C510－C6＝246(种)．
[由题悟法]
1．解决组合应用题的2个步骤
(1)整体分类要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理； (2)局部分步用到分步乘法计数原理． 2．解决含有附加条件的组合问题的2种方法
通常用直接法或间接法，应注意对“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研
究进行直接求解．
[即时应用]
1．(2019·嘉善模拟)跨越台阶，可以一步跨越一级，也可以一步跨越两级，现有11级台阶，准备8步跨完，则不同的跨越方式有( )
A．165种 C．56种
B．120种 D．28种
解析：选C 11级台阶，8步跨完，则其中有3步是跨越两级的，则不同的跨越方式有C38＝56种．故选C.
2．(2019·南昌模拟)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )
A．30种 C．60种
B．36种 D．72种
2解析：选A 甲、乙两人从4门课程中各选修2门有C24C4＝36(种)选法，甲、乙所选
的课程中完全相同的选法有6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30(种)．
3．平面内有10个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，则从中任取2点，可以构成的不同的直线的条数为________；从中任取3点，能够构成的不同的三角形的个数为________．
2解析：构成直线的情况是，第一类，从不共线的6点中任取2点，可以构成C6＝15条1
不同的直线；第二类，从共线的4点中任取一点，不共线的6点中任取一点，可以构成C16C4
＝24条不同的直线；第三类，从共线的4点中任取2点，构成1条直线，所以满足条件的不同的直线有15＋24＋1＝40条．
构成三角形的情况是，第一类，从不共线的6点中任取3点，可以构成C36＝20个不同
1的三角形；第二类，从不共线的6点中任取2点，共线的4点中任取1点，可以构成C26C4＝
60个不同的三角形；第三类，从不共线的6点中任取1点，共线的4点中任取2点，可以
2构成C16C4＝36个不同的三角形．所以满足条件的三角形的个数为20＋60＋36＝116.
答案：40 116
考点三 排列、组合的综合应用?题点多变型考点——多角探明? [锁定考向]
排列与组合是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．
常见的命题角度有：
(1)简单的排列与组合的综合问题； (2)分组、分配问题．
2020年浙江高考数学一轮复习：排列与组合
