一．方法综述
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多 面体的外接球 . 有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点 空间想象能力以及化归能力
. 考查学生的
. 研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决
这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面 体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作 用。当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体。
与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决 切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作
. 如果
外
. 当球与多面体的各个面相切时，注意球心
到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱 锥的高，用体积来求球的半径。 二．解题策略
类型一 构造法（补形法）
【答案】
9
【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解。长方体的外接球即为该三棱锥的外接球。
【例 2】一个四面体的所有棱长都为
2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（
） 【答案】 A 【解析】
【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利
用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可。
【举一反三】
1、如图所示，设 A， B， C， D 为球 O上四点， AB，AC， AD两两垂直，且 R(R 为球 O的
AB＝AC＝ 3，若 AD＝
半径 ) ，则球 O的表面积为 (
)
A． π B． 2π C． 4π D． 8π
【答案】 D
【解析】因为
AB， AC， AD两两垂直，所以以 AB， AC， AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各
2
2
6， AD＝ R， DE＝ 2R，则有 R＋ 6＝ (2 R) ，解
3，所以 AE＝ 得 R＝ 2，所以球 顶点均在球面上， ＝
的表面积 S＝ 4π R2＝8π . 故选 D。
AB＝ AC
A- BCD的四个顶
2、如图所示，已知三棱锥 点
＝
＝ 3， 2， ＝ 5，则球
A， B， C，D 都在球 O 的表面上， AC⊥平面 BCD，BC⊥ CD，且
的表面积为 ()
AC
BC CD
O
A． 12π B ． 7π C ． 9π D ． 8π 【答案】 A
【解析】由 AC⊥平
面
BCD，BC⊥ CD知三
棱锥
2
2
2
A- BCD可以补成
以
2
AC， BC， CD为三条棱的长方体，
设球
O的半
径为 R，则有 (2
R)
2
＝AC＋ BC＋ CD＝ 3＋ 4＋ 5＝12，所以
S球＝4πR＝ 12π . 故选 A。
3、在三棱锥 A- BCD中， AB＝ CD＝ 6， AC＝ BD＝ AD＝ BC＝5，则该三棱锥的外接球的
表面积为
__________． 【答案】 43π
【解析】依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的
a2＋ b2＝ 62，
R
，则 b2＋ c2＝ 52，
长、宽、高分别为
a b c
、 、 ，且其外接球的半径为
a b c a 43 (2 R) 得 ＝ 2 2＋ 2＋ 2＝ ，即 2
c2＋a2＝ 52，
＋ b2＋ c2＝ 43，易知 R即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为
类型二
4π R2＝ 43π.
正棱锥与球的外接
【例 3】正四棱锥的顶点都在同一球面上， A．
若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为 （ ）
81
4
B ．16C．9D．
27
4
【答案】 A．
【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，
构造直角三角形，利用勾股定理求半径。
【举一反三】
1、在三棱锥 P－ ABC中，PA＝ PB=PC= 3 , 侧棱 PA 与底面 ABC所成的角为 60°，则该三棱锥外接球的体积为
（
）
B.
C. 4
D.
4
3
A． 【答案】 D
3
S，A， B， C，其中 O，A， B， C四点共面，△ ABC是边长
2、球 O的球面上有四点 为 2 的正三角形，平面 SAB ⊥平面 ABC，则棱锥 S- ABC的体积的最大值为 (
. 3
3
)
. 3
． 2 3 ． 4
A B C
D
，所以点
【答案】 A
【解析】 (1) 由于平面
⊥平面 在平面 上的射影 落在 上，根据球的对称性可知，
SAB ABC ABC S H AB
当 S 在“最高点”，即 H为 AB的中点时， SH最大，此时棱锥 S- ABC的体积最大．
2 2 3 2 3
因为△ ABC是边长为
r ＝ OC＝ 3CH＝3× 2 × 2＝
2 的正三角形，所以球的半径
3 .
1 3
在 Rt △ SHO中， OH＝ OC＝ ，
2 3 所以 SH＝
2 2 2 3 3 ＝ 1，
－ 3 3
1
3
2
3
故所求体积的最大值为
3× 4 ×2×1＝ 3 .
专题4.2+与球相关的外接与内切问题-玩转压轴题突破140分之高三数学选填题高端精品.doc
