高考数学二轮复习极坐标与参数方程学案（含解析）
考向一：极坐标方程
极坐标
一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数． 极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：
01ρcosθ，??x＝□?
02ρsinθ；??y＝□
03x2＋y2，?ρ2＝□
??
04yx≠0.tanθ＝□?x?
1、［2016?全国Ⅱ，23］在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)＋y＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程； (2)直线l的参数方程是?
?x＝tcosα，?
??y＝tsinα22
(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝10，
求l的斜率．
2
解 (1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ＋12ρcosθ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
2
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ＋12ρcosα＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝
2
＝144cosα－44.
ρ1＋ρ2
2
－4ρ1ρ2
3152
由|AB|＝10得cosα＝，tanα＝±.
83所以l的斜率为
1515或－. 33
解法二：将l的参数方程代入C的方程得于是t1＋t2＝－12cosα，t1t2＝11. |AB|＝|t1－t2|＝144cosα－44
3152
由|AB|＝10得cosα＝，tanα＝±. 83
2
所以l的斜率为
1515或－. 33
π
条件探究：若直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，l与C交于M，N两点，求△CMN的
4面积．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ＋＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－|AB|＝|ρ1－ρ2|＝
，ρ1ρ2＝11.
2
ρρ1＋ρ2
2
－4ρ1ρ2＝.
圆C的半径为5，△CMN的面积为
C(2,2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，B(2,)，?4??)，4?D(2,?)，弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0)，(1,)，(1,?)，曲线M1是弧2AB，曲线M2是弧BC，曲线M3是弧CD．
（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|? 3，求P的极坐标．
【答案】（1）M1的极坐标方程为??2cos??0?????π??，M2的极坐标方程为4???2sin?????（2）?3,?π?43π??3π????2cos????π?． M?，3的极坐标方程为?4??4???π??π??2π??5π?3,3,3,或或或???????． 6?6??3??3??【解析】（1）由题设可得，弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为??2cos?，??2sin?，???2cos?．
所以M1的极坐标方程为??2cos??0?????π??，M2的极坐标方程为4???2sin??????π?43π??3π?M???2cos????π，的极坐标方程为3???．
4?4??（2）设P(?,?)，由题设及（1）知
若0???ππ，则2cos??3，解得??； 46若π3ππ2π???，则2sin??3，解得??或??； 44333π5π???π，则?2cos??3，解得??． 46??π??π??2π??5π?3,3,3,或或或???????． 6?6??3??3??若综上，P的极坐标为?3,3、［2017?全国Ⅱ，22］在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
?π?(2)设点A的极坐标为?2，?，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
3??
解 (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)． 4
由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
cosθ由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0)．
22
因此C2的直角坐标方程为(x－2)＋y＝4(x≠0)． (2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积
π??1??S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·?sin?α－?? 3??2??π?3??
＝2?sin??2α－3?－2?≤2＋3.
????π
当α＝－时，S取得最大值2＋3.
12所以△OAB面积的最大值为2＋3.
4、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O为极点，点M(?0,?0)(?0?0)在曲线C:??4sin?上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P．
高考数学二轮复习极坐标与参数方程学案(含解析)
