高二数学基本概念-第9章矩阵和行列式初步

第9章 矩阵和行列式初步

一、 矩阵

9.1 矩阵的概念

矩阵及其相关的概念1、矩形数表叫做矩阵矩阵中的每个数叫做矩阵的元素由m?n个数aij?i?1,2,?,m;j?1,2,?,n?排成的m行n列的数表a11a21?am1a12a22??a1n?a2n?称为m?n矩阵.am2?amn?a11??a21记作A?????a?m1a12a22?am2?a1n???a2n??(aij)m?n?????amn??

注意: 矩阵的符号，是“（）”，不能是“| |”.其中aij称为矩阵的第i行第j列元素。一般的记为大写字母A、B、C、…等。必要时可记为Am?n,Bm?n等，或者(aij)m?n。2、矩阵???1?2?叫做方程组的系数矩阵。???31?它是2行2列的矩阵，记为A2?2，矩阵Am?n可简记为A

?1?25??3、矩阵??318?叫做方程组的增广矩阵，??它是2行3列的矩阵，可记作A2?34、1行2列的矩阵（1，-2），（3，1）叫做系数矩阵的两个行向量。2行1列的矩阵?叫做系数矩阵的两个???3??，?????1?列向量。?1???2? 请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！

5、解二元一次方程组就是通过某些变换使系数矩阵变为对角线元素均为1，其余元素为0的矩阵??01????在系数矩阵变化过程中增广矩阵随之变化，最后增广矩阵的最后一列给出方程组的解。例如?10?如果矩阵A?(aij)m?n的行数与列数相等，即m?n，称A为n阶方阵（或n阶矩阵或n阶阵）也可记作An.6、当行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵。?1?2???31??是2阶方矩阵，2是行数（列数）???1362???222???222???是一个3 阶方阵.注意：如果说2阶矩阵，指的就是2阶的方阵 7、对角线元素为1，其余元素均为0的方矩阵，如?10?，叫做单位矩阵。???01????10?0???01?0??E?En?????????00?1??（2）元素全为零的矩阵称为零矩阵，m?n零矩阵记作om?n或o.注意不同阶数的零矩阵是不同的.全为1例如称为n阶单位矩阵（或单位阵）.注意：单位矩阵是方阵?0??0?0??0?000??000???0000?.000??000??0，指的是说明：解方程组的过程就是通过某些矩阵变换，使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程。如果写矩阵A3?4?0，右边的3?4的零矩阵 说明：通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有下列三种：（1）互换矩阵的两行（2）把某一行同乘以（除以）一个非零常数（3）某行乘以一个数加到另一行通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

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9.2 矩阵的运算

一、复习定义1由m?n个数aij(i?1,2,?m;j?1,2,?,n)排列成一个m行n列的矩形表，称为一个m?n矩阵?a11?a记为?21?...??a?m1a12a22...am2...a1n??...a2n?......??...amn??其中aij称为矩阵的第i行第j列元素。一般的记为大写字母A、B、C、…等。必要时可记为Am?n,Bm?n等，或者A=(aij)。所有元素均为0的矩阵，称为零矩阵，记作O或Om?n定义2若两个矩阵A，B有相同的行数与相同的列数，并且对应的位置上的元素相等aij?bij(i?1,2,3,...;j?1,2,3...)，则称矩阵A与矩阵B相等。记为：A=B

即如果A?(aij)m?n,B?(bij)m?n且aij?bij,(i?1,2,...,m;j?1,2,...,n)则A=B。二、矩阵的运算（一）矩阵的加（减）法和数与矩阵的乘法定义3两个m行n列矩阵A?(aij),B?(bij)对应位置元素相加(或相减）得到的m行n列矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和（差）。记为A?B或（A-B）。即A?B?(aij)m?n?(bij)m?n?(aij?bij)m?n

?(aij)中的每一个元素所得定义4以实数?乘矩阵A 到的矩阵，称为实数?与矩阵A的乘积矩阵．记做?A即?A??(aij)m?n?(?aij)m?n?1与A的乘积使A的元素变号，称为A的负矩阵记作?A即?A?(?aij)m?n注意：（1）矩阵A与实数?相乘满足如下交换率和分配律：（1）?A?A?（2）?（A?B）??A??B

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（2）设A、B、C、O都是m×n矩阵，l、k是实数，则(1)A?B?B?A(2)(A?B)?C?A?(B?C)(3)A?O?A(4)A?(?A)?O(5)k(A?B)?kA?kB(6)(k?l)A?kA?lA(7)(kl)A?k(lA)?l(kA)(8)1A?A

ax?b1y?c1例、给出二元一次方程组{1存在唯一解的条件。a2x?b2y?c2解：原方程组的系数矩阵为A?(a1a2b1b2)……①?a1??b1???b??,??b??是矩阵A的两个列向量，原方程组可以表示为：?1??2??a1??b1??c1?x??a???y??b?????c??……②?2??2??2?由平面向量的分解定理可知：?a1??b1?(1)当向量?对实数x、y使②成立?a??与??b??不平行时，存在唯一一?2??2?

?a??b?(2)当向量?1?与?1?平行时，对任意实数x、y，?a2??b2??a??b??a??b???x?1??y?1?都与?1?或?1?平行，所以?a2??b2??a2??b2??c?若c??1?与?平行，则原方程组有无穷多个解；?c2??c?若c??1?与?不平行，则原方程组无解。?c2??a1??b1???唯一解的条件。?a??与??b??不平行是原方程组存在?2??2?

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(二)矩阵的乘法a??a设A??1112??a21a23?c??bb??cB??1112?C??1112??b21b22??c21c22?若它们元素间的关系可以用下列等式表示cij?ai1b1j?ai2b2j(i?1,2;j?1,2)那么矩阵C叫做矩阵A和B的乘积，记作C=ABa12??b11b12??a11b11?a12b21a11b12?a12b22??aAB??11??????aabb?2122??2122??a21b11?a22b21a21b12?a22b22?c??c??1112??c21c22?注：(1)cij是A的第i行的行向量与B的第j列的列向量的数量积（i?1，2；j?1,2)

?a11??a设A??21a?31?a?41a12a22a32a42a13??a23?a33??a43???b11b12???B??b21b22??b??31b32?a11b12?a12b22?a13b32??a21b12?a22b22?a23b32?a31b12?a32b22?a33b32??a41b12?a42b22?a43b32??1、一般的，AB≠BA矩阵乘法不满足交换律。若AC=BC，但A≠B矩阵乘法不满足消去律。2、AB=0不能推出A=0或B=0?a11b11?a12b21?a13b31??ab?ab?abAB??211122212331ab?ab?ab?311132213331?ab?aba?ab4331?41114221n行、k列的矩阵与k行、m列的注：(2)定义可以推广到任意矩阵的乘积（m,n,k?N?)3、如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，称为A与B可交换。由矩阵乘法的要求可知，A与B可交换的必要条件是A与B是同阶方阵。 定义*4、平面图形的矩阵变换设矩阵A?（ajk）m?l的列数与B?(bkj)l?n的行数相同，则由元素cij?ai1b1j?ai2b2j?...?ailblj??aikbkjk?1l(i?1,2,...,m,j?1,2,...,n)构成的m行n列的矩阵C?(cij)m?n?(?aikbkj)m?nk?1l称为矩阵A与B的积。记为C=AB记忆法:\左行右列”AB的行数为左边矩阵A的行数，AB的列数为右边矩阵B的列数。AB的第i行第j列元素为A的第i个行向量与B的第j个列向量的数量积。所以只有A的列数与B的行数相同时，AB 才有意义。 请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！