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人教版高中数学必修四知识点归纳总结
1.1．1 任意角
1．角的有关概念：①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角的名称：
始边
B 终边
③角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角
O 顶点
A
④注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．2．象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
负角：按顺时针方向旋转形成的角
1.1.2弧度制（一）
1．定义
我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．弧度制的性质：①半圆所对的圆心角为
rr
;
②整圆所对的圆心角为
2rr
2.
③正角的弧度数是一个正数．⑤零角的弧度数是零．4．角度与弧度之间的转换：①将角度化为弧度：360
2；180
；1
180(180
④负角的弧度数是一个负数．⑥角α的弧度数的绝对值|α|=
lr.
0.01745rad；n
n180
rad．
②将弧度化为角度：2
360；
180；1rad
)
57.30
5718；n
(180n
)．
5．常规写法：
①用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少π的形式, 不必写成小数．②弧度与角度不能混用．6．特殊角的弧度
角030456090120135150180270360
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度°°°弧
0 度467．弧长公式
lr
l
r
°3
°2°23
°
34
°
56
°°
32
°2
弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积．
4-1.2.1任意角的三角函数（三）
1. 三角函数的定义2. 诱导公式
sin(2kcos(2ktan(2k
)))
sin(kcos(ktan(k
Z)Z)Z)
当角的终边上一点P(x,y)的坐标满足
x
2
y
2
1时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何
表示——三角函数线。1．有向线段：
坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。有向线段：带有方向的线段。2．三角函数线的定义：
设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(x,y)，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角
yyT长线交与点T.
P
M
的终边或其反向延
P
o
A
x
o
M
A
x
T
y（Ⅱ）
T
y（Ⅰ）
MA
M
o
A
x
o
x
P
PT
由四个图看出：
当角的终边不在坐标轴上时，有向线段
sin
yr
y1
y
MP，cos
xr
x1
（Ⅲ）
（Ⅳ）
OMx
x,MP
y，于是有yx
MPOM
ATOA
AT
OM，tan
我们就分别称有向线段MP,OM,AT为正弦线、余弦线、正切线。
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说明：
（1）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。
（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与
x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向
的为负值。
（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。
4-1.2.1任意角的三角函数（
1．三角函数定义
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点它与原点的距离为r(r（1）比值（2）比值（3）比值（4）比值
yrxryxxy
1）
P（除了原点）的坐标为(x,y)，
|x|
2
|y|
2
x
2
y
2
0)，那么
yr
叫做α的正弦，记作sin，即sin叫做α的余弦，记作cos
，即cos
；
x；r
yxxy
叫做α的正切，记作tan，即tan叫做α的余切，记作cot
，即cot
；；
说明：①α的始边与x轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α
的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；
P(x,y)在α的终边上的②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点位置的改变而改变大小；
③当所以tan
2
k(kyx
Z)时，α的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标
k(k
Z)时，cot
yr
xyyx
x都等于0，
无意义；同理当
无意义；
xy
④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值、
xr
、、分别是一个确定的实数，
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三
角函数。
2．三角函数的定义域、值域
函数定义域值域
y
sin
RR
{|
2
k,k
Z}
[1,1][1,1]
yy
costan
R
注意：
(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合.(2) α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几
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圈，按什么方向旋转到OP的位置无关. (3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积.其余五个符号也是这样. (4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别:
锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质，“r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.
(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.3．例题分析
例1．求下列各角的四个三角函数值：（通过本例总结特殊角的三角函数值）（1）0；（2）；
（3）
32
．
解：（1）因为当0时，x
r，y
0，所以
sin00，cos01，
tan00，
cot0不存在。（2）因为当时，xr，y0，所以sin
0，
cos1，tan
0，
cot不存在，
（3）因为当
32
时，x
0，y
r，所以
sin
32
1，
cos
32
0，
tan
32
不存在，
cot
32
0，
例2．已知角α的终边经过点P(2,3)，求α的四个函数值。
解：因为x2,y
3，所以r
2
2
(3)
2
13，于是sin
y3313x13r
13
13
；
cos
22r
13
13；
tan
y3xx
2
；
cot
2y3．
例3．已知角α的终边过点(a,2a)(a0)，求α的四个三角函数值。
解：因为过点(a,2a)(a0)，所以r
5|a|，
x
a,y
2a
当a0时，siny
2a2a25
xa5a
r5|a|5a5cosr
5a
5
；tan2;cot
1；2
;sec当a
0时，sin
y2a2a25r
5|a|
5a
5；
cosxa5ar5a
5；tan2;cot1
2;sec．
5;csc
52
4．三角函数的符号
由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为正（y0,r0），对于第三、四象限为负（y0,r0）；②余弦值
xr
对于第一、四象限为正（
x
0,r
0），对于第二、三象限为负（
x
0,r
0）；
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5;csc
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③正切值
yx
对于第一、三象限为正（
，对于第二、四象限为负（x,y同号）．x,y异号）
说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。
5．诱导公式
由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：
sin(2k)sin，cos(2k)cos，其中kZ．，
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为
tan(
2k)
tan
0～2π间角的三角函数值问题．
4-1.2.2同角三角函数的基本关系
（一）同角三角函数的基本关系式：
1.由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
（1）商数关系：tan
sincon
（2）平方关系：sin
2
con
2
1
说明：
2
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin24cos4②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
tan
cot
1(
k2
2
1等；
,kZ)；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用）cos
1sin
，sin
2
，如：
1cos
2
，cos
sintan
等。
总结：
1.已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，
确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。
2.解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关
系开平方时，漏掉了负的平方根。
小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：
（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；
（4）能求得数值的应计算出来，其次要注意在三角函数式变形时，常将式子中的“1”作巧妙的变形，
1．3诱导公式
1、诱导公式（五）2、诱导公式（六）
sin(
2
)
cos
cos(
2
)
sin
2
总结为一句话：函数正变余，符号看象限小结：
①三角函数的简化过程图：
任意负角的
只供学习与交流公式一或三三角函数
任意正角的三角函数
sin()coscos(
2
)sin
公式一或二或四
0~360间角的三角函数
00
0~90间角的三角函数
00
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