第19课时 函数的应用(Ⅰ) 课时目标 1.会利用一次函数和二次函数模型解决简单实际问题． 2．理解数学建模的过程，并不断地加强数学应用意识． 识记强化 常见的函数模型： (1)正比例函数模型，形如y＝kx(k≠0)． k(2)反比例函数模型，形如y＝(k≠0)． x(3)一次函数模型，形如y＝ax＋b(a≠0)． (4)二次函数模型，形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ??f?x?，x∈A(5)分段函数模型，形如y＝?. ?g?x?，x∈B? 课时作业 (时间：45分钟，满分：90分) 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝4x，1≤x＜10，x∈N???2x＋10，10≤x＜100，x∈N.??1.5x，x≥100，x∈N 其中x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( ) A．15 B．25 C．40 D．130 答案：B 解析：令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．故该公司拟录用25人． 2．从地面竖直向上抛出一个小球，小球距离地面的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至落回到地面所需要的时间是( ) A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s 答案：A 解析：令h＝30t－5t2＝0，则t＝0(舍去)或t＝6. 3．某商品的进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若该商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量就会减少10件，为使销售该商品的月利润最高，商店应将每件商品定价为( ) A．45元 B．55元 C．65元 D．70元 答案：D 解析：设在50元的基础上提高x元，x∈N，每月的月利润为y，则y与x的函数关系式为y＝(500－10x)(50＋x－40)＝－10x2＋400x＋5 000，x∈N，其对称轴为x＝20，故每件商品的售价为70元时，月利润最高． 4．从装满20 L纯酒精的容器中倒出1 L酒精，然后用水加满，再倒出1 L酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果倒第k次时共倒出纯酒精x L，倒第k＋1次时共倒出纯酒精f(x) L，则f(x)的表达式是( ) 19A．f(x)＝x＋1 201B．f(x)＝x＋1 2019C．f(x)＝(x＋1) 201D．f(x)＝x 20答案：A 解析：∵倒第k次时共倒出纯酒精x L，∴第k次后容器中含纯酒精(20－x) L，第k＋120－x20－x19次倒出的纯酒精是 L，所以f(x)＝x＋＝x＋1. 2020205．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道墙，要使矩形的面积最大则隔墙的长度为( ) A．3 m B．4 m C．6 m D．12 m 答案：A 解析：设隔墙的长为xm，矩形面积为S，则 ?24－4x?S＝x· 2＝x·(12－2x)＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18， ∴当x＝3时，S有最大值为18. 6．某地兴修水利挖渠，其渠道的横截面为等腰梯形(如图)，腰与水平线的夹角为60°，要求横截面的周长(不含上底)为定值m，要使流量最大，则渠深h为( ) 1123A.m B.m C.m D.m 6366答案：D 2442解析：等腰梯形的腰为3h，周长为m，下底为m－3h，上底为m－3h＋3h33332＝m－3h， 316333∴S等腰梯形＝(2m－3h)h＝－3h2＋mh＝－3?h－m?2＋m2?0＜h＜m?，当h236?12?4??33＝m时，Smax＝m2，此时流量最大． 612二、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分) 7．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且产量每增加一单位，成本增加11万元，又知总收入R(万元)与产量Q的函数关系式为R(Q)＝4Q－Q2，则最大总利润L(Q)200是________万元，这时产品的产量为________．(总利润＝总收入－成本) 答案：250 300 11解析：L(Q)＝4Q－Q2－(200＋Q)＝－(Q－300)2＋250，则当Q＝300时，总利润200200L(Q)取最大值250万元． 8．如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面的高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为________m. 答案：0.5 解析：若以距离小明较近的那棵树的树根为原点、以水平线为x轴建立平面直角坐标系， 则抛物线的对称轴为x＝1，设抛物线方程为y＝ax2－2ax＋2.5. 当x＝0.5时，y＝0.25a－a＋2.5＝1，∴a＝2，y＝2(x－1)2＋0.5. ∴绳子的最低点距地面的距离为0.5 m. 9．某种电热水器的水箱盛满水是200 L，加热到一定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34 L，在放水的同时注水，t min注水2t2 L，当水箱内的水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65 L，则该热水器一次至多可供________人洗澡． 答案：4 17111解析：设最多用热水器x min，则水箱内水量y＝200＋2x2－34x＝2(x－)2＋， 221717∴当x＝时，y有最小值，此时共放水34×＝289 L. 22∵每人洗浴用水65 L，∴至多可供4人洗澡． 三、解答题(本大题共4小题，共45分) 10．(12分)某公司生产某种电子仪器的固定成本为20 000元，且每生产一台仪器需再1??400x－2x2?0≤x≤400?投入100元，已知总收益(单位：元)满足函数R(x)＝?， ??80 000?x＞400? 其中x(单位：台)是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少？(利润＝总收益－总成本) 解：(1)由题意，知总成本为(20 000＋100x)元， 1??－2x2＋300x－20 000?0≤x≤400?从而f(x)＝?. ??60 000－100x?x＞400? 1(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000， 2∴当x＝300时，f(x)有最大值25 000； 当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数，又f(400)＝20 000＜25 000，∴当x＝300时，f(x)取得最大值25 000. 即当月产量为300台时，公司所获最大利润为25 000元． 11．(13分)某校校长暑假期间带领该校市级三好学生去北京旅游，有甲、乙两家旅行社可供选择．甲旅行社的方案：校长按全票收费，学生可享受半价优惠．乙旅行社的方案：全部按票价的6折收费．已知全票价为240元． (1)设学生人数为x，甲旅行社收费为y甲元，乙旅行社收费为y乙元，分别写出两家旅行社的收费y甲，y乙关于学生人数x的函数解析式． (2)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样； (3)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠． 解：(1)y甲＝120x＋240(x∈N*)， y乙＝(x＋1)×240×60%＝144(x＋1)(x∈N*)． (2)令y甲＝y乙，则120x＋240＝144x＋144，解得x＝4， 即当学生人数为4时，两家旅行社的收费一样． (3)①当y甲＞y乙时，120x＋240＞144x＋144，解得x＜4； ②当y甲＝y乙时，x＝4； ③当y甲＜y乙时，120x＋240＜144x＋144，解得x＞4. 综上所述，当x＜4时，乙旅行社更优惠；当x＝4时，两家旅行社收费一样． 能力提升 12．(5分)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为40万元，则生产者不亏本(销售收入不少于总成本)时的最低产量是( ) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 答案：A 解析：要使生产者不亏本需满足3 000＋20x－0.1x2≤40x. 即0.1x2＋20x－3 000≥0，x2＋200x－30 000≥0， ∴x≥100或x≤－300 ∵x∈(0,240) ∴最低产量是100台，故选A. 13．(15分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿的市场售价P(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q(单位：元/102 kg)与上市时间t(单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系． (1)写出图1表示的西红柿的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f(t)，图2表示的西红柿的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g(t)； (2)若西红柿的市场售价减去其种植成本为西红柿的纯收益，问何时上市西红柿的纯收益最大？ 解：(1)由图1，可得西红柿的市场售价与上市时间的函数关系式为 ??300－t，0＜t≤200f(t)＝?. ?2t－300，200＜t≤300?由图2，可得西红柿的种植成本与上市时间的函数关系式为 1g(t)＝(t－150)2＋100,0＜t≤300. 200(2)设上市时间为t时的纯收益为h(t)， 则由题意，得h(t)＝f(t)－g(t)， 11175－t2＋t＋，0＜t≤20020022即h(t)＝. 1271 025－t＋t－，200＜t≤30020022 ??? 当0＜t≤200时，整理，得 1h(t)＝－(t－50)2＋100， 200当t＝50时，h(t)取得最大值100； 当200＜t≤300时，整理，得 1h(t)＝－(t－350)2＋100， 200当t＝300时，h(t)取得最大值87.5. 综上，当t＝50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿纯收益最大．
高中数学：第19课时 函数的应用(Ⅰ)
