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第三节 全微分
要求：理解全微分的概念，会求函数的全微分，知道函数极限，函数的连续，偏导数存在与可微分间关系。了解全微分存在的必要条件和充分条件。
重点：会求函数的全微分。函数极限，函数的连续，偏导数存在与可微分间关系。 难点：全微分有关理论的证明。 作业：习题8－3（P28）12)4),3
一．全微分的概念与计算
回顾一元函数的增量、微分之间关系． 设二元函数z?f(x,y)． 1．偏增量与偏微分概念
让一个变量固定，另一个变量有增量?xz，?yz，由一元函数微分学中增量与微分关系有
?xz?f(x??x,y)?f(x,y)?fx(x,y)?x，对x的偏微分． ?yz?f(x,y??y)?f(x,y)?fy(x,y)?y，对y的偏微分． 2．全增量与全微分概念
全增量?z?f(x??x,y??y)?f(x,y). 定义 如果函数z?f(x,y)在点(x,y)的全增量 ?z?f(x??x,y??y)?f(x,y) 可表示为
?z?A?x?B?y?o(?)，
其中A,B是不依赖于?x,?y而仅与x,y有关的量且
??(?x)2?(?y)2，则称函数
z?f(x,y)在点(x,y)处可微分，而A?x?B?y称为函数z?f(x,y)在点(x,y)处的全微
分，记dz ，即
dz?A?x?B?y 问题提出：
⑴ 定义中的A与B应为多少？
⑵ 函数z?f(x,y)满足什么条件，才有?z?A?x?B?y?o(?)？ 3．函数可微的必要条件 定理1 (必要条件) 精品文档
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如果函数z?f(x,y)在点(x,y)处可微分，则该函数在点(x,y)处的偏导数
?z?z,必?y?y定存在，且函数z?f(x,y)在点(x,y)的全微分为
dz??z?z?x??y． ?x?y证明 因为函数z?f(x,y)在点(x,y)处可微，则有 ?z?A?x?B?y?o(?) 成立．
特别地当?y?0时，上式也成立，此时??|?x|． 所以
?xz?f(x??x,y)?f(x,y)?A?x?o(|?x|)， 从而
?z?zf(x??x,y)?f(x,y)?lim?lim?A ?x?0?x?0?x?x?x?z存在． ?x?z?B，所以 ?y?z?z?x??y． ?x?y同理
dz?注意：函数全微分与偏导数之间关系
对于一元函数而言，可导必可微，反之可微必可导；但是对于二元函数来说，由定理1可知，可微必可导，可微必连续（因为lim?z?0），反之偏导数存在，函数不一定可微分．
?x?0?y?0理由： 在一元函数中，导数完全能刻画出函数的变化率，但在二元函数中，偏导数
?z?z,仅仅是无穷多个方向中，在两个方向上来确定了函数的变化率，特殊情况不能代替?x?y一般情况．
?xy22,x?y?0?22例1． 讨论函数f(x,y)??x?y，在点(0,0)处偏导数与全微分问题．
?x2?y2?0?0,解 函数在点(0,0)处有偏导数
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fx(0,0)?lim?x?0f(0??x,0)?f(0,0)?lim0?0，同理fy(0,0)?0 ?x?0?x即两偏导数存在；
但是?z?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y????x?y(?x)?(?y)22，
如果考虑点P'(?x,?y)沿直线y?kx趋于(0,0)时，
?x?y lim(?x)2?(?y)2?x?0?y?0?y?x?x?y(?x)21?lim??lim?． ?x?0(?x)2?(?y)2?x?0(?x)2?(?x)22?y?0这表明，它不能随??0而趋于0，因此，当??0时，?z?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y 不是较?的高阶无穷小，因此函数在点(0,0)处全微分不存在，即在点(0,0)处是不可微的． 可见函数偏导数存在，则不一定可微分，那么函数满足什么条件才可微分呢？
4．函数可微的充分条件
定理2(充分条件) 如果函数z?f(x,y)的偏导数
???z?z,在点(x,y)处连续，则 ?y?y函数z?f(x,y)在该点全微分存在．
证明 考察函数的全增量
?z?[f(x??x,y??y)?f(x,y??y)]?[f(x,y??y)?f(x,y)]
=========fx(x??1?x,y??y)?x?fy(x,y??2?y)?y，（0??1,?2?1） 又由于导函数
一元函数中值定理?z?z,在点(x,y)处连续，所以有 ?y?y limfx(x??1?x,y??y)?fx(x,y)，
?x?0?y?0 limfy(x??x,y??2?y)?fy(x,y)．
?x?0?y?0又由极限的性质得
?0， fx(x??1?x,y??y)?fx(x,y)??1， ?1??1(?x,?y)??????x?0,?y?0?0． fy(x??x,y??2?y)?fy(x,y)??2，?2??2(?x,?y)??????x?0,?y?0因此
?z?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y??1?x??2?y，
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|?1?x??2?y?x?y??0|?|?1??2|?|?1|?|?2|????0．
???从而函数z?f(x,y)在点(x,y)处全微分存在．
说明
??dy称自变量的微分，则 ??dx，?y?（1）习惯上将自变量增量?x?记记dz??z?zdx?dy． ?x?y
（2）二元函数微分定义及定理对三元及三元以上的多元函数可完全类似的加以推广，
如，对三元函数u?f(x,y,z)，有全微分
du?
?u?u?udx?dy?dz． ?x?y?z（3）全微分的计算，只要按求偏导数的方法，求出
?u?z?u,,，将其代入微分公式即?x?y?z可．
（4）二元函数与一元函数在连续，偏导数，全微分区别．
对于一元函数y?f(x)，
limf(x)存在?f(x)在x0处连续?在x0处可导?在x0处可微．
x?x0
对于二元函数z?f(x,y)，
不能?fx(x0,y0),fy(x0,y0)limf(x,y)?A存在?f(x,y)在点(x0,y0)处连续???x?x0y?y0存在
连续 f(x,y)在点(x0,y0)处可微分．
xy 例2. 设函数z?e，求dz|x?2．
y?1 解 因为精品文档
?z?z?xexy，所以 ?yexy，?y?x精品文档
dz|x?2?(ye)x?2dx?(xe)x?2dy?edx?2edy．
y?1y?1y?1xyxy22例3．设函数u? 解 因为
xze，求全微分du． yx?u1z?u?uxz??2ez，?e，?e，所以 ?y?xy?zyyz du?e(1xx1xdx?2dy?dz)?ez(dx?dy?xdz)． yyyyy思考题
1．若函数z?f(x,y)在点(x0,y0)连续且两个偏导数存在，能否说函数z?f(x,y)在该点处可微吗？
2．若函数z?f(x,y)在点(x0,y0)可微，偏导数是否存在？
3．如何判别函数的可微性？
4．二元函数极限、偏导数、可微的关系如何？
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