111122s?(a1t12?v1t2?a1?t2)?(a2t12?v2t2?a2?t2)?12m<27m
2222⒂
此后B静止不动,A继续在B上滑动。设再经过时间t3后A离开B,则有
?t) l?s?(v1?a12t?3可得
12
a?t1⒃ 32 t3=1s(另一解不合题意,舍去) ⒄ 设A再B上总的运动时间为t总,有
t总=t2+t2+t3=4s ⒅
(利用下面的速度图线求解,正确的,参考上述答案及评分参考给分)
举一反三
【变式1】质量为m的物体放在倾角为?的斜面上,物体和斜面的动摩擦因数为?,如沿水平方向加一个力F,使物体沿斜面向上以加速度a做匀加速直线运动(如图所示),则F为多少? 【答案】F?m(a?gsin???gcos?)
cos???sin?【解析】本题将力沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向分解,分别利用两个方向的合力与加速度的关系列方程。
(1)受力分析:物体受四个力作用:推力F、重力mg、支持力FN,摩擦力Ff。 (2)建立坐标:以加速度方向即沿斜向上为x轴正向,分解F和mg(如图所示): (3)建立方程并求解
x方向: Fco?s?mgs?in?fF?y方向: FN?mgcos??Fsin??0 amFf??FN
三式联立求解得 F?m(a?gsin???gcos?)
cos???sin?【变式2】如图(a)质量m=1kg的物体沿倾角?=37?的固定粗糙斜面由静止开始向下运动,风对物体的作用力沿水平方向向右,其大小与风速v成正比,比例系数用k表示,物体加速度a与风速v的关系如图(b)所示。求:
(1)物体与斜面间的动摩擦因数?; (2)比例系数k。 (g?10m/ssin53?0.8,cos53?0.6) 【答案】(1)??0.25 (2)k?0.84kg/s
1 【解析】 (1)对初始时刻:mgsin???mgcos??ma0 ○
21式, 解得:??由图读出a0?4m/s2 代入○
gsin??ma0?0.25;
gcos?2 (2)对末时刻加速度为零: mgsin???N?kvcos??0 ○
又 N?mgcos??kvsin? 由图得出此时v?5m/s mg(sin?-?cos?)
2式解得: k=代入○ =0.84kg/s。
v(?sin?+cos?分解加速度:
分解加速度而不分解力,此种方法一般是在以某种力或合力的方向为x轴正向时,其它力都落在两坐标轴上而不需再分解。
例4、如图所示,电梯与水平面间夹角为30,当电梯加速向上运动时,人对梯面的压力是其重力的6/5,人与梯面间的摩擦力是其重力的多少倍? 【答案】FN?3mg 5【解析】对人受力分析:重力mg,支持力FN,摩擦力
f(摩擦力方向一定与接触面平行,由加速度的方向推
知f水平向右)。
建立直角坐标系:取水平向右(即F的方向) 为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向(如图), 此时只需分解加速度,
其中ax?acos30 ay?asin30(如图所示) 根据牛顿第二定律有
x方向: f?max?macos30 ① y方向: FN?mg?may?masin30 ② 又 FN?63mg ③ 解①②③得 f?mg 。
55【总结升华】应用分解加速度这种方法时,要注意其它力都落在两坐标轴上而不需再分解,
如果还有其它力需要分解,应用分解加速度方法就没有意义了。
例5、某科研单位设计了一空间飞行器,飞行器从地面起飞时,发动机提供的动力方向与水平方向夹角??60,使飞行器恰沿与水平方向成??30角的直线斜向右上方匀加速飞行。经时间t后,将动力的方向沿逆时针旋转60°同时适当调节其大小,使飞行器依然可以沿原方向匀减速飞行,飞行器所受空气阻力不计。求:(1) t时刻飞行器的速率; (2)整个过程中飞行器离地的最大高度。 【答案】(1) v?gt (2) H?32gt 4?【解析】 (1)沿运动方向和垂直运动方向建立坐标系 沿运动方向: Fcos30?mgsin30?ma (1) 垂直运动方向: Fsin30?mgcos30?0 (2) 解(1)(2)得 F?3mg a?g
???t时刻飞行器的速度 v?at 得 v?gt
(2)逆转后
垂直运动方向: F??mgcos30 (3) 沿运动方向: mgsin30?ma? (4) 求得 F????13mg a??g
22经过时间t? 速度减为零 a?t??v 求得t??2t
离地最大高度:H?(at?12213a?t?2)sin30??gt2 24用合成法(平行四边形定则)求解: 图形如图所示,解析略。
类型三、合成法在牛顿第二定律中的应用
例6、如图所示,有一箱装得很满的土豆,以一定的初速在动摩擦因数为μ的水平地面上做匀减速运动,不计其它外力及空气阻力,则其中一个质量为m的土豆A受其它土豆对它的总作用力大小应是( )
A. mg B. ?mg
22C. mg1?? D. mg1??
【答案】C
【解析】对箱子和土豆整体分析,设质量为M ?Mg?Ma a??g
箱子在水平面上向右做匀减速运动,加速度方向向左,其中一个 质量为m的土豆,合力大小为ma,方向水平向左,一个土豆受重力, 把其它土豆对它的总作用力看成一个力F,二力不平衡,根据合成法原理, 作出力的平行四边形,可知F是直角三角形的斜边,
F?(mg)2?(ma)2?(mg)2?(m?g)2?mg1??2 所以C正确。
【总结升华】这是一个典型的物体只受两个力作用且二力不平衡问题,用合成法解题,把力学问题转化为三角、几何关系问题,很简捷。 举一反三
【变式】 如图所示,一箱苹果沿着倾角为θ的光滑斜面加速下滑,在箱子正中央夹有一只质量为m的苹果,它受到周围苹果对它作用力的方向是( )
A.沿斜面向上 B.沿斜面向下 C.垂直斜面向上 D.竖直向上
【答案】 C
作出力的平行四边形分析F的方向, 垂直斜面向上。
【高清课堂:牛顿第二定律及其应用1例3】
例7、如图所示,质量为0.2kg的小球A用细绳悬挂于车顶板的O点,当小车在外力作用下沿倾角为30°的斜面向上做匀加速直线运动时,球A的悬线恰好与竖直方向成30°夹角。
a A 30o g = 10m/s2,求:
(1)小车沿斜面向上运动的加速度多大?
(2)悬线对球A的拉力是多大?
(3)若以(1)问中的加速度向下匀加速,则细绳与竖直方向夹角θ=? 【答案】(1)10m/s (2)23N (3)60;
0
2【解析】解法一:用正交分解法求解
(1)(2)A受两个力:重力mg、绳子的拉力T,根据牛顿第二定律列出方程 沿斜面方向: Tcos30?mgsin30?ma (1) 垂直于斜面方向: Tsin30?mgcos30 (2) 解得 T?23N, a?10m/s
解法二:用合成法求解
小球只受两个力作用且二力不平衡,满足合成法的条件。拉力与
竖直方向成30角,合力方向沿斜面与水平面夹角也为30角,合力大小为ma,如图,三角形为等腰三角形,所以:ma?mg, a?g?10m/s。
由几何关系得拉力 T?2mgcos30?23N
(3)用合成法求解
小车匀加速向下运动,小球向上摆动,设细线与竖直方向夹角 为?,竖直向下的重力加速度为g,沿斜面向下的加速度为
22a?10m/s2?g,从图中几何关系可看出二者的夹角为60,则细线的
方向与它二者构成一个等边三角形,即细线与竖直方向夹角??60。
【总结升华】物体只受两个力作用且二力不平衡问题往往已知合力方向,
关键是正确做出力的平行四边形。 【高清课堂:牛顿第二定律及其应用1例2】
例8、如图所示,一质量为0.2kg的小球用细绳吊在倾角为θ=53o的斜面上,斜面静止时,球紧靠在斜面上,绳与斜面平行,不计摩擦。求下列几种情况下下,绳对球的拉力T:
(1)斜面以5m/s的加速度水平向右做加速运动; (2)斜面以10m/s的加速度水平向右做加速运动; (3)斜面以10m/s的加速度水平向右做减速运动;
222
【答案】(1)T1?2.2N,N1?0.4N(2)N2?0T2?2.83N
??45