(1)当BD等于多少时，面ABC⊥面ACD? (2)在(1)的条件下，若三棱锥DAPC的体积等于
3
时，求CP的长． 9
解析 (1)在平面ABC内过点B作BE⊥AC交AC于点E，若面ABC⊥面ACD，则BE⊥面ACD，又AD?面ACD，∴BE⊥AD， ∵AB⊥面BCD，CD?面BCD， ∴AB⊥CD，
∵AB?面ABC，BE?面ABC，AB∩BE＝B， ∴DC⊥面ABC.
又BC?面ABC，∴DC⊥BC，即∠BCD＝90°， ∵CD＝1，BC＝3，∴BD＝2. 即当BD＝2时，面ABC⊥ACD. (2)由(1)可知∠BCD＝90°，∠BDC＝60°， 13
∴S△PCD＝DC·DPsin60°＝DP，
24∵AB⊥面BCD，
133
∴VD-APC＝VA-DPC＝AB·S△DPC＝DP＝，
31294
∴DP＝，
3
13
∴在△PCD中，CP2＝DC2＋DP2－2DC·DPcos60°＝，
9∴CP＝
13. 3
22.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝4，AB＝2.以BD的中点O为球心、BD为直径的球面交PD于点M.
(1)求证：平面ABM⊥平面PCD；
(2)求直线PC与平面ABM所成的角的正切值； (3)求点O到平面ABM的距离．
解析 (1)证明：∵M点在以BD为直径的圆上， ∴BM⊥MD，即BM⊥PD.
∵PA⊥面ABCD，AB?面ABCD，∴PA⊥AB. ∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD.
又PA∩AD＝A.∴AB⊥面PAD，又PD?面PAD， ∴AB⊥PD.
又∵AB∩BM＝B，∴PD⊥面ABM，PD?面PCD. ∴平面ABM⊥平面PCD.
(2)如图，过M点作MN∥CD交PC于点N，连接BN. ∵AB∥CD，MN∥CD， ∴AB∥MN.
∴PC与平面ABM的交点为N.
由(1)知PD⊥面ABM，∴MN即为PN在平面ABM上的射影，∴∠PNM即为PC与平面ABM所成角，且∠PNM＝∠PCD. PD
∴tan∠PNM＝tan∠PCD＝＝22.
DC
∴直线PC与平面ABM所成角的正切值为22.
(3)∵O为BD的中点，∴O到平面ABM的距离为D到平面ABM距离的一半，由(1)知，PD⊥面ABM于点M，∴DM即为点D到平面ABM的距离．在Rt△PAD中，PA＝AD＝1
4.PD⊥AM.∴M为PD中点，∴DM＝PD＝22.
2∴O到平面ABM的距离为2.
新课标版数学必修二(新高考 新课程)综合卷2高考调研精讲精练
