《直线与圆的位置关系》教学设计及反思
【教学目标】
1. 了解直线与圆的位置关系的两种判定方法; 2. 了解平血几何知识在解析几何屮的作用； 3. 会用两种判定方法解决一些简单数学问题.
【教学重点】
直线与圆的位置关系的两种判定方法.
【教学难点】
用两种判定方法解决一些简单数学问题.
【教学过程】 （-）复习引入
（1）在平面几何中，直线与圜有哪几种位置关系?
（答案：相交，相切，相离.）
（2）在圆的一般方程?+y24-￡>x+Ey+F=0 （D2+E2~4F>0）屮，如何确定圆心坐
标？
［答案：圆心坐标是（一学,
（3）点到肓线的距离如何计算?
\\Ax()+By()+C\\
?]
［答案：如果点P（X。，）5）为直线/： Ax+By+C=O外一点，则点到宜线的距离为
（二）讲解新课
（1）判断直线与圆的位置关系的第一种方法
在平面几何屮，我们已经学习过貞线与圆的三种不同位置关系及它们的判断方法. 已知圆C的半径为r,设圆心C到育线/的距离为d.如图 %1 直线与圆有两个公共点时，称育线与圆相交，并有
d %1 直线与圆有唯一公共点时，称育线与圆相切，并有 d=8直线/与圆C相切； %1 育线与圆没有公共点时，称直线与圆相离，并有 d>e在解析几何屮，我们可以肓接利川这个方法判定盲线与闘的位置关系?直线/与圆c相离. ① ② ③ 例1判定直线/： 3x-4y-l= 0与圆C： (x—l) 2+ (y+2) 2=9的位置关系. 解：根据圆C的方程 (%-1) 2+ (y+2) 2=9,我们知道， 圆的半径r=3,圆心为C (1, d= -2),则圆心到直线3x-4y-l= 0的距离为 |3-(~8)-1| , 32+(-4)2 显然，有 2<3, 即 d 故直线/： 3x-4y-1 =0 与圆 C： (x—1) 2+ (y+2) 2=9 相交. (2) 判断直线与圆的位置关系的第二种方法 设直线方稈为Ax+By+C=0(A, B不全为0), 圆C的方稈为x+y + Dx+Ey+F=0 经消元示得到一元二次方程，设判别 2Ax+By+C=0 x2+y2+Dx+Ey+F=0 式为△,则有 A>ooH线/与圆C相交； △ = 0。线/与圆C相切； (D2+E2-4F>0),方程组< △ <0。真线/与圆C相离. 例2判定直线/： 3x+4y-25=o与圆C： x2+)^=25的位置关系. 解：由氏线与圆的方程纟H.成的方程组为 j3x+4y_25 = 0, [x+y=25. 22由直线方稈得)=一糸+孚 代入圆的方程，得 戏+〔一糸+劄2=25‘ 整理，得 F—6x+9=0. 因为 △= (—6) 2-4XlX9=0, 所以肓线/与圆C相切. 例 3 已知圆 C： (x—1) 2+ (y—2) 2=25,直线 /： (2m+1) x+ (加+1) y—7m—4=0 (tn ER). (1)证明：不论加取什么实数，肓线/与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C截得的弦长最小时/的方稈. 分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解 得. （1）证明：/的方程（兀+y—4） +m （2x+y—7） =0. 由 2x+y —7 = 0 I x + y - 4 = 0 即/恒过定点4（3, ???圆心C （1, 2） , \\ AC \\ =y[5<5 （半径），???点A在圆C内，从而直线/恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，/丄AC,由kAC=~^ ???/的方程为2x-y-5=0. 点拨:育线与圆相交截得弦长的最小值时，可以从垂径定理角度考虑，充分利用圆的几何性 质. （3）练习 教材P105练习1—3.补充练习（请完成学案1?5） 22 1?直线y = x + l与圆x + y= 1的位置关系为（ ） A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 222?若过A（4,0）的直线Z与曲线（x-2） + y= 1有公共点,则Z的斜率的取值范围为（C） A. [-V3,V3] B. （-V3,V3） C?[_晅逼] D?（_Q 逼） 3 3 3 ' 3 3. （2012年广东广州一模）已知圆6 x2+/=r2，点P（a, b）（ab^0）是圆O内一点,过点P 的圆O的最短弦所在的直线为/i，直线D的方稈为ax+by+r2=0f那么（） A. 厶〃b且&与圆O相离 B. A丄?2，且D与圆。相切 C. 1{//129且佐与圆o相交 D. h丄仏，且<2与圆O相离 4. （2012年北京西城一模）圆X2+/-4X + 3=0的圆心到肓线x~y/3y = 0的距离是 5. （2012年江苏）在平面直角坐标系xO），屮，圆C的方稈为X2+/-8X+15 = 0,若直线）= 也一2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则&的最大值 是 ? 三）布置作业 学案直线与圆的位置关系（一） 【教学设计说明】 在分别学习了直线方程和圆的方程之后，教材安排了直线与圆的位置关系一节，作为 直线方程和圆的方程的直接应用，同时，也突出体现了解析法的特点，即利用代数知识解 决几何问题.为了减少教学过程中的障碍，教案首先对一些相关知识做了复习，然后分别 介绍了判断直线与圆的位置关系的两种方法，第一种方法是结合平面几何知识，只适用于 直线与圆的关系的特殊方法；第二种方法则是适用于直线与所有二次曲线关系的一般方 法.对于圆来讲，第一种方法相对简单一些，第二种方法则计算量大一些. 教学后记——听完视频课例的反思 解析几何是17世纪数学发展的重要成果之一，其本质是用代数方法研究图 形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在本课例屮，三位教师引导学 生在平面直角坐标系屮建立直线和圆的代数方程，运用代数方法和几何方法研究 它们的儿何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。 数形结合是本模块重要的数学思想，这不仅是因为解析几何本身就是数形结 合的典范，而且在研究几何图形的性质时，也充分体现“形”的直观性和“数” 的严谨性。例如：直线和圆是学牛非常熟悉的两种图形，学生已经知道如何从“形” 的角度分析直线和圆的位置关系，那么，如何从“数”的角度刻画它们之间的位 置关系呢？三位教师从引例屮采用了方程纽求直线与圆的交点的方法，也采用通 过比较圆心到直线的距离与半径的大小来判断的方法。这样，在将学生所学知识 加以整合和升华的同吋，也为后续内容（直线和圆锥曲线的位置关系）的学习奠 定了基础。 我设想，教学过程应“接头续尾，注重过程”。通过引导，使学生经历下列 过程：首先建立坐标系，将儿何问题代数化，用代数语言描述儿何要素及其相互 关系；进血，将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结论的几何 含义，最终解决几何问题。通过上述活动，使学生感受到解析几何研究问题的一 般程序。由“形”问题转化为“数”问题研究，同吋数形结合的思想，还应包含 构造“形”来体会问题本质，开拓思路，进而解决“数”的问题。
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