所以EA + ED=0,BF + CF=0.
又因为AB + BF + FE + EA=0,
所以EF = AB + BF + EA.①
同理EF = ED + DC + CF.②
EF = 1(AB + DC
EF = AB + DC EA + ED BF + CF AB + DC
2 由①+②得,2 +( )+( )= ,所以 ), .
所以 λ=2,μ=2 所以 λ+μ=1.
1 1
能力提升
13. 在△ABC 中,点 O 在线段 BC 的延长线上,且与点 C 不重合.若AO=xAB+(1-x)AC,则实数 x 的取值范围是(
)
A.(-∞,0)
B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(0,1)
答案:A
解析:设BO=λBC(λ>1),
则AO = AB + BO = AB+λBC=(1-λ)AB+λAC.
又AO=xAB+(1-x)AC,
所以 xAB+(1-x)AC=(1-λ)AB+λAC.
所以 λ=1-x>1,得 x<0.
OP = OA + OB + 2OC)
3 2 2 ,则点 P 一定为△ 14. 已知 A,B,C 是平面上不共线的三点,O 是△ABC 的重心,动点 P 满足
111(ABC 的(
)
A. 边 AB 中线的中点
B. 边 AB 中线的三等分点(非重心)
C. 重心
D. 边 AB 的中点
答案:B
OM OA + 1OB = OM OP = 1(OC OP = OM OC,OP - OM OC OP MP PC.
2 3 ,所以 解析:设 AB 的中点为 M,则2 +2 ),即 3 +2 =2 -2 ,即 =2
1
又MP与PC有公共点 P,所以 P,M,C 三点共线,且 P 是 CM 上靠近点 C 的一个三等分点.
AD = 1 (AB + AC AP = AD + 1 BC
4 8 ,则△APD 15. 已知△ABC 是边长为 4 的正三角形,D,P 是△ABC 内的两点,且满足 ), 的
面积为(
)
. 4
A
3
. 2 B
3
C. 3 D.2 3
答案:A
解析:取 BC 的中点 E,连接 AE,因为△ABC 是边长为 4 的正三角形,
(AB + AC AE =2 )., 所以 AE⊥BC
1
1 1
AD = (AB + AC 3. AF = BC
4 8 ,以 又 ),所以点 D 是 AE 的中点,AD= 取 AD,AF 为邻边作平行四边形,可知
AP = AD + 8BC = AD + AF.
1
1
因为△APD 是直角三角形,AF=2,
× 2 × 所以△APD 的面积为2
1 1
3 = 4 .
3
16.(2024 辽宁五校联考)在△ABC 中,点 P 满足BP=2PC,过点 P 的直线与 AB,AC 所在直线分别交于点 M,N,若AM=m
AB,AN=nAC(m>0,n>0),则 m+2n 的最小值为(
8 )
10
A.3
B.4
. 3 C . 3 D
答案:A
解析:因为BP=2PC,所以AP - AB=2(AC - AP),
C. AP = AB + 2AAM AB,AN AC
3 3 所以 又因为 =m =n ,
1
1
AP = AM + 2 AN. 3m 3n 所以
1
2
+
因为 M,P,N 三点共线,所以3m 3n=1,
所以 m+2n=(m+2n)
{
3m
(1 3m
2 +3n= 3 + 3 + 3
)
1 4 2 n (m 5 2 n m m n
5 4
m
+ ≥ 3 + 3 ×
2n)
· = 3 + 3=3,
1
n m
当且仅当
= ,
2 = 1, + 3n
即 m=n=1 时等号成立. m n
所以 m+2n 的最小值为 3.故选 A. 17. 如图,有 5 个全等的小正方形,BD=xAE+yAF,则 x+y 的值是
.
答案:1
解析:由平面向量的运算可知BD = AD - AB.
∵ AD=2AE,AB = AH + HB=2AF - AE,
∴ BD = AD - AB=2AE-(2AF - AE)=3AE-2AF.
又AE,AF不共线,且BD=xAE+yAF,
即 xAE+yAF=3AE-2AF,
∴x=3,y=-2,∴x+y=1.
高考预测
18. 已知 e1,e2 为平面内两个不共线向量,MN=2e1-3e2,则NP=λe1+6e2.若 M,N,P 三点共线,则 λ=
.
答案:-4
解析:因为 M,N,P 三点共线,所以存在实数 k 使得MN=kNP,所以 2e1-3e2=k(λe1+6e2).
又 e1,e2 为平面内两个不共线的向量,
2 = kλ,
{ 所以 - 3 = 6k,解得 λ=-4.
2024高考数学一轮复习考点规范练25平面向量的概念及线性运算(含解析)
