第二讲
几何模型及应用
教学目标 平面几何是小升初考试的必考内容，而且常常以大题形式出现，名牌中学的选拔考试几何题目，分值较高，并且难度有逐步增加的趋势，虽然几何题形式多样，但通过总结归纳，掌握小学奥数中的基本几何模型，有助于解决更多几何新题、难题。 1. 回顾等积与倍比模型； 2. 相似三角形模型以及燕尾（共边）定理的运用； 3. 图形变换。
专题回顾 模型之相似三角形性质：
EFDAADBBGCFGEC
如图DE//BC，BD和CE相交(延长线)交于A，则有如下等量关系。
ADAEDEAF； ???ABACBCAG2222②S△ADE：S△ABC?AF:AG?DE:BC
①
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模型之燕尾定理（共边定理）：
两个有公共边的三角形ABD和ABC，ABC与DC交于点M，则三角形ABC的面积与三角形ABD的面积之比等于CM与DM的比。（定理描述对下图所示四种图形都成立）
CC
CCABMA
M
B
DDDDABMAMB
【例1】 如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，已知AH?5cm，HF?3cm，
求AG。
AEDAGEDGHFBCOHFBC
【分析】 注意三角形AHB和三角形DHF相似，
利用三角形相似的性质可以得到 AB:DF?AH:HF?5:3，作OE垂直于AD，且交AF于点O，又因为E为AD中点，则有OE:DF?1:2，
所以AB:OE?5:所以AG?4?311?10:3，AG:GO?10:3，AO?AF???5?3??4， 2221040=。 1313
【例2】 如右图，已知BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.
AEFFAEFAEBDCBDCBDC
【分析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判
断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，
（法一）连接CF，因为BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，
11所以S?ABE?S?ABC?10，S?ABD?S?ABC?15。
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根据燕尾定理，
S?ABFAE1S?ABFBD??，??1, S?CBFEC2S?ACFCD1所以S?ABF?S?ABC?7.5，S?BFD?15?7.5?7.5，
4所以阴影部分面积是30?10?7.5?12.5。
1 （法二）连接DE，有题目条件可得到S?ABE?S?ABC?10，
3AFS?ABE1112??， S?BDE?S?BEC??S?ABC?10，所以
FDS?BDE1223111111 S?DEF??S?DEA???S?ADC????S?ABC?2.5，
22323221 而S?CDE???S?ABC?10。所以阴影部分的面积为12.5。
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经典精讲
模型运用
【例3】 （08年清华附中入学考试）如图相邻两个格点间的距离是1，则图中阴影三角形的面积为________。
ADBBADCC
【分析】连接AD、CD、BC、AB，
则可根据格点面积公式，可以得到VABC的面积=1?
4?1?2， 2VACD的面积=3?3?1?3.5， 24412?S?ABD??3?。 4?71111所以BO:OD=S?ABC:S?ACD?4:7，所以S?ABO?
[拓展]如图，每个小方格的边长都是1，求三角形ABC的面积。
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EDABC
[拓展]因为BD:CE?2:5，且BD\\\\CE，所以DA:AC?2:5，S?ABC?5510S?DBC??2?。 2?577
【例4】 如下图，线段EG和DF把三角形ABC分成四部分，如果四边形FOGCG均为各边的三等分点，E、D、F、
的面积是24平方厘米，求三角形ABC的面积。
ADEOGADEOGBFCBFC
【分析】 设三角形以AB为底的高为h,
∵FG:AB?2:3； ∴ED:FG?1:2；
122 ∴ 三角形OGF以GF为底的高是h??h；
3392 又∵三角形CFG以FG为底的高是h,
322∴ 三角形OGF的面积:三角形CGF的面积?h:h?1:3
933 所以三角形CFG的面积?24??18(平方厘米)
3?1224 而三角形CFG的面积占三角形ABC的??，
33941所以三角形ABC的面积是18??40（平方厘米）。
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【例5】 如图，长方形ABCD中，E、F分别为CD、AB边上的点，DE?EC，FB?2AF，
求PM:MN:NQ。 学而思教育 五升六 竞赛123班 第二讲 教师版 Page 16
第2讲.竞赛123班.教师版
