数学物理方法习题解答
一、复变函数部分习题解答
第一章习题解答
1、证明Rez在z平面上处处不可导。
证明：令Rez?u?iv。QRez?x，?u?x,v?0。
?v?u?v?u?。 ?1，?0，
?y?x?y?x于是u与v在z平面上处处不满足C－R条件， 所以Rez在z平面上处处不可导。
2、试证f?z??z2仅在原点有导数。
2证明：令f?z??u?iv。Q??f?z??z?x2?y2????????u?x2?y2,v?0。
?u?u?v?v?2x,????2y。?????。 ?x?y?x?y所以除原点以外，u,v不满足C－R条件。而
?u?u?v?v??,???????????,???在原点?x?y?x?y连续，且满足C－R条件，所以f?z?在原点可微。
??v?u???u?v?f??0????i????i??0。
??x?x?x?0??y?y?x?0y?0y?0lim或：f??0???z?02?z?z22?lim??z??lim??x?i?y??0。
?z?0?x?0?y?0*?z?0limz??z?z?z?zz*??z*z?z*z?0*?lim?lim(z?z)???0。 ?z?0?z?0?z?z***?z?z?z?e?i2?与趋向有关，则上式中??1】 【当z?0,?z?rei?，?z?z?z?x3?y3?i(x3?y3)?3、设f(z)??x2?y2?0?z?0，证明f?z?在原点满足C－R条件，但不z=0可微。
证明：令f?z??u?x,y??iv?x,y?，则
?x3?y3?u?x,y???x2?y2?0??x3?y3?v(x,y)??x2?y2?0?x2?y2?0， 22x?y=0x2?y2?0。 22x?y=0u(x,0)?u(0,0)x3ux(0,0)?lim?lim3?1， x?0x?0xxu(0,y)?u(0,0)?y3uy(0,0)?lim?lim3??1； y?0x?0yyv(x,0)?v(0,0)x3vx(0,0)?lim?lim3?1， x?0x?0xxv(0,y)?v(0,0)y3vy(0,0)?lim?lim3?1。 y?0x?0yy??ux(0,0)?vy(0,0)??,??uy(0,0)??vx(0,0)
?f(z) 在原点上满足C－R条件。 f(z)?f(0)x3?y3?i(x3?y3)?lim但lim。 z?0z?0(x2?y2)(x?iy)z令y沿y?kx趋于0，则
x3?y3?i(x3?y3)1?k3?i(1?k3)k4?k3?k?1?i(k4?k3?k?1)lim?? z?0(x2?y2)(x?iy)(1?k2)(1?ik)(k2?1)2依赖于k，?f(z)在原点不可导。
4、若复变函数f?z?在区域D上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D上
必为常数。
（1）f?z?在区域D上为实函数； （2）f*?z?在区域D上解析； （3）Ref?z?在区域D上是常数。 证明：（1）令f(z)?u(x,y)?iv(x,y)。
由于f?z?在区域D上为实函数，所以在区域D上v(x,y)?0。 Qf(z)在区域D上解析。由C－R条件得
?u?v?u?v??0，???0。 ?x?y?y?x ?在区域D上u(x,y)为常数。从而f?z?在区域D上为常数。
（2）令f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，则f*(z)?u(x,y)?iv(x,y)。 Qf(z)在区域D上解析。由C－R条件得
?u?v?u?v???,????。 （1） ?x?y?y?x又f*(z)在区域D上解析，由C－R条件得
?u?v?u?v????,???。 （2） ?x?y?y?x联立（1）和（2），得
?u?u?v?v????0。 ?x?y?x?y?u,v在区域D上均为常数，从而f(z)在区域D上为常数。
（3）令f?z??u?x,y??iv?x,y?，则Ref(z)?u?x,y?。 由题设知u?x,y?在区域D上为常数，??u?u??0。 ?x?y又由C－R条件得，在区域D上
?v?u?v?u???0?,????0，于是v在区域D上为常数。 ?x?y?y?x ?u,v在区域D上均为常数，从而在区域D上f(z)为常数。 5、证明xy2不能成为z的一个解析函数的实部。
?2u?2u证明：令u?xy，2?2?0?2x?2x。
?x?y2?u 不满足拉普拉斯方程。从而它不能成为z的一个解析函数的实
部。
6、若z?x?iy，试证：
（1）sinz?sinxcoshy?icosxsinhy； （2）cosz?cosxcoshy?isinxsinhy； （3）sinz＝sin2x?sinh2y； （4）cosz?cos2x?sinh2y。
证明：（1）sinz?sin(x?iy)?sinxcos(iy)?cosxsin(iy)
Qcos(iy)?coshy,?sin(iy)?isinhy， ?sinz?sinxcoshy?icosxsinhy。
22 （2）cosz?cos(x?iy)?cosxcos(iy)?sinxsin(iy) Qcos(iy)?coshy,?sin(iy)?isinhy， cosz?cosxcoshy?isinxsinhy。
（3）sinz?(sinxcoshy)2?(cosxsinhy)2?sin2xcosh2y?cos2xsinh2y ?sin2x(1?sinh2y)?cos2xsinh2y
?sin2x?(sin2x?cos2x)sinh2y?sin2x?sinh2y。
2 （4）cosz?(cosxcoshy)2?(sinxsinhy)2?cos2xcosh2y?sin2xsinh2y ?cos2x(1?sinh2y)?sin2xsinh2y ?cos2x?cos2xsinh2y?sin2xsinh2y
?cos2x?(cos2x?sin2x)sinh2y?cos2x?sinh2y。 7、试证若函数f?z?和??z?在z0解析。f?z0????z0??0,???z0??0，
f?z?f??z0?则lim。（复变函数的洛必达法则） ?z?z0??z????z0?2证明：
f(z)?f(z0)f(z)?f(z0)f?(z0)z?z0z?z0z?z0f(z)?f(z0)f(z)??lim?lim?lim。 ??(z0)lim?(z)??(z0)z?z0?(z)??(z0)z?z0?(z)??(z0)z?z0?(z)z?z0z?z0z?z0lim或倒过来做。 8、求证：limz?0sinz?1。 zsinz(sinz)?证明：lim?lim?limcosz?1。 z?0z?0z?0?zz第二章习题解答 9、利用积分估值，证明
a．??i?x2?iy2?dz?? 积分路径是从?i到i的 右半圆周。 b．证明?i2?iidz?2积分路径是直线段。 2z证明：a．（方法一）
??x?ii2?iy?dz??2422i?i?x42?iy2?dz??i?ix4?y4dz
??i?ix?2xy?ydz??i?i(x2?y2)2dz??。
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