类型三 与向量投影有关的最值问题
【例3】【辽宁省沈阳市郊联体2024届高三一模】若平面向量，满足||=|3的投影的最大值为（ ） A．
B．
C．
D．
|=2，则在方向上
【答案】A 【解析】 因为
在方向上的投影为又设
，则
，故
有非负解，故
，所以
，其中为，的夹角．
．
， ，
故，故，故选A．
；（2）计算角，的几何意义就是向量在向
【指点迷津】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用
.特别地，两个非零向量
垂直的充要条件是
．
.另外，
量的投影与模的乘积，向量在向量的投影为【举一反三】
1、已知?ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且OA?AB?AC?0，则向量CA在向量CB方向上的投影为( ) A. 3 B. 【答案】B
3 C. -3 D. ?3 第 6 页 共 26 页
本题选择B选项.
2、设OA?1,OB?2， OA?OB?0， OP??OA??OB，且????1，则OA在OP上的投影的取值范围( ) A. ?-?25? B.
?5,1????25? C. ??5,1????5? D. ??5,1????5? ??-5,1???【答案】D
当λ?0时， x?0,
15λ2?8λ?4?当λ?0，?2xλ
48?2???5??2???1 2λλ?λ?第 7 页 共 26 页
2
故当λ?1时，
11取得最小值为1，即?1，?0?x?1 xx215?2?8??4481?2?当λ?0时， ??，即????5???2?1??5??5 ??x?2?2??x????5?x?0 55 ,1?故答案选D 5综上所述x?(?类型四 与平面向量数量积有关的最值问题 【例4】【辽宁省鞍山市第一中学2024届高三一模】
，且
A．
B．
C．
，则
中，
，
，
的最小值等于
D．
【答案】C 【解析】 由题意知，向量可得点D在边BC上，所以所以
，则
，即
，且，
，
，
时以C为直角的直角三角形．
，则，当
， 时，则
最小，最小值为
．
如图建立平面直角坐标系，设则故选：C．
，
【指点迷津】平面向量数量积的求法有：①定义法；②坐标法；③转化法；其中坐标法是同学们最容易忽
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视的解题方法，要倍加注视，若有垂直或者容易出现垂直的背景可建立平面直角坐标系，利用坐标法求解.
【举一反三】
1、已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE?DC的最大值为（ ） A. 1 B. 【答案】A
31 C. D. 2
22
2、【辽宁省鞍山市第一中学2024届高三一模】且A．
，则
B．
的最小值等于
C．
D．
中，
，
，
，
【答案】C 【解析】 由题意知，向量可得点D在边BC上，所以
，且，
，即
，
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，
，则
所以时以C为直角的直角三角形．
，则，当
， 时，则
最小，最小值为
．
如图建立平面直角坐标系，设则故选：C．
，
3、已知圆的半径为2，
（
是圆上任意两点，且），则
的最小值为（ ）
，是圆的一条直径，若点满足
A. -1 B. -2 C. -3 D. -4 【答案】C
类型五 平面向量系数的取值范围问题 【例5】在矩形ABCD中， AB?1动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，AD?2，AP??AB??AD，则???的最大值为（ ）
A. 3 B. 22 C. 【答案】A
5 D. 2
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2024届高考数学压轴题讲义(选填题)：平面向量中范围、最值等综合问题
