平面向量中范围、最值等综合问题
一．方法综述
平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，也是难点，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数（二次函数、三角函数）的最值或应用基本不等式，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合，应用图形的几何性质． 二．解题策略
类型一 与向量的模有关的最值问题
【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图，在足
，若
的面积为
，则
中，，，为上一点，且满
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】 设
，
，则三角形
的面积为
，解得
，
由，且C，P，D三点共线，可知，即，
故以则
.
所在直线为轴，以点为坐标原点，过点作
，
，
，
，
的垂线为轴，建立如图所示的坐标系，
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则则
，，，
（当且仅当故
的最小值为
.
即时取“=”）.
【指点迷津】三点共线的一个向量性质：已知O、A、B、C是平面内的四点，则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、，使【举一反三】
1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图，矩形
位于第一象限，且顶点
中边
的长为，
边的长为，矩形的最大值为（ ）
，且
.
分别位于轴、轴的正半轴上（含原点）滑动，则
A． 【答案】B 【解析】 如图，设
B． C． D．
，
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则因为所以则
所以所以选B
的最大值为
2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量，的夹角为
的最小值为（ ）
A．
B．
C．5
，且，则
D．
【答案】B 【解析】 由题意可设因此
,表示直线
的对称点为
上一动点，所以
到定点
， 距离的和,因为选B. 中，
，则
的
关于直线
3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系
，若
最小值是（ ） A．C．
B．D．
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【答案】C 【解析】 由于
半径为的圆上.最小值等于圆心到直线故
的最小值是
，即
得到
的距离减去半径，直线，故选C.
，即
，所以在以原点为圆心，
的，
三点共线.画出图像如下图所示，由图可知，的方程为
，圆心到直线的距离为
类型二 与向量夹角有关的范围问题
【例2【】四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量
，
【答案】【解析】
，
，
，
在
时取得最小值
，
在
时取得最小值若
与的夹角为，
，
，
，则夹角的取值范围是______.
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解可得：
则夹角的取值范围本题正确结果：
【指点迷津】求变量的取值范围、最值，往往要将目标函数用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，期间要注意变量之间的关系，进而得解． 【举一反三】
??????2?2???1、非零向量a,b满足2a?b=ab，|a|?|b|?2，则a与b的夹角的最小值是 ．
【答案】
? 3【解析】由题意得a?b?222122a?b?4?2a?b?2a?b，即a?b?1 ，，整理得aba?b?42a?b11??cosa,b??a?b?，??a,b??，夹角的最小值为.
233ab2??2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆则
与
的夹角范围为____________
上任意一点，与关于轴对称，若有，
【答案】【解析】 由题意：设与
，
，
，则
，又
，因为
结合
与
结合，消去，可得：
所以
本题正确结果：
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2020届高考数学压轴题讲义(选填题)：平面向量中范围、最值等综合问题
