平面向量中范围、最值等综合问题
一.方法综述
平面向量中的最值与范围问题是一种典型的能力考查题,能有效地考查学生的思维品质和学习潜能,能综合考察学生分析问题和解决问题的能力,体现了高考在知识点交汇处命题的思想,是高考的热点,也是难点,其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值,比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等,解决思路是建立目标函数的函数解析式,转化为求函数(二次函数、三角函数)的最值或应用基本不等式,同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份,所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合,应用图形的几何性质. 二.解题策略
类型一 与向量的模有关的最值问题
【例1】【安徽省黄山市2019届高三一模】如图,在足
,若
的面积为
,则
中,,,为上一点,且满
的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】 设
,
,则三角形
的面积为
,解得
,
由,且C,P,D三点共线,可知,即,
故以则
.
所在直线为轴,以点为坐标原点,过点作
,
,
,
,
的垂线为轴,建立如图所示的坐标系,
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则则
,,,
(当且仅当故
的最小值为
.
即时取“=”).
【指点迷津】三点共线的一个向量性质:已知O、A、B、C是平面内的四点,则A、B、C三点共线的充要条件是存在一对实数、,使【举一反三】
1、【宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期二模】如图,矩形
位于第一象限,且顶点
中边
的长为,
边的长为,矩形的最大值为( )
,且
.
分别位于轴、轴的正半轴上(含原点)滑动,则
A. 【答案】B 【解析】 如图,设
B. C. D.
,
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则因为所以则
所以所以选B
的最大值为
2、【浙江省湖州三校2019年高考模拟】已知向量,的夹角为
的最小值为( )
A.
B.
C.5
,且,则
D.
【答案】B 【解析】 由题意可设因此
,表示直线
的对称点为
上一动点,所以
到定点
, 距离的和,因为选B. 中,
,则
的
关于直线
3、【四川省成都外国语学校2019届高三3月月考】在平面直角坐标系
,若
最小值是( ) A.C.
B.D.
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【答案】C 【解析】 由于
半径为的圆上.最小值等于圆心到直线故
的最小值是
,即
得到
的距离减去半径,直线,故选C.
,即
,所以在以原点为圆心,
的,
三点共线.画出图像如下图所示,由图可知,的方程为
,圆心到直线的距离为
类型二 与向量夹角有关的范围问题
【例2【】四川省成都市实验外国语学校2019届高三10月月考】已知向量
,
【答案】【解析】
,
,
,
在
时取得最小值
,
在
时取得最小值若
与的夹角为,
,
,
,则夹角的取值范围是______.
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解可得:
则夹角的取值范围本题正确结果:
【指点迷津】求变量的取值范围、最值,往往要将目标函数用某个变量表示,转化为求函数的最值问题,期间要注意变量之间的关系,进而得解. 【举一反三】
??????2?2???1、非零向量a,b满足2a?b=ab,|a|?|b|?2,则a与b的夹角的最小值是 .
【答案】
? 3【解析】由题意得a?b?222122a?b?4?2a?b?2a?b,即a?b?1 ,,整理得aba?b?42a?b11??cosa,b??a?b?,??a,b??,夹角的最小值为.
233ab2??2、【上海市2019年1月春季高考】在椭圆则
与
的夹角范围为____________
上任意一点,与关于轴对称,若有,
【答案】【解析】 由题意:设与
,
,
,则
,又
,因为
结合
与
结合,消去,可得:
所以
本题正确结果:
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2020届高考数学压轴题讲义(选填题):平面向量中范围、最值等综合问题
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