最佳数模队员的选拔
摘要
数学建模竞赛是考察参赛队员综合能力的一项重要赛事，如何选拔参加数学建模的队员使得各参赛队能发挥出最佳水品也就变得极为重要。
针对问题1，我们认为数学建模中有必要考查以下能力，数学基础，编程能力，写作能力，团队合作能力和领导能力。为了对每项能力进行量化评估我们又确立了相应的指标。经过分析，最终确定了四层的学生综合素质评价指标体系。整个指标体系是一个四层的结构体系，其中最高层为目标层，客观反映学生的数模竞争力水平；第二层为“准则层一”，即数学建模比赛中需要的几种能力；第三层为“准则层二”，它是影响各项能力的具体指标；第四层为方案层，其研究的对象是具体的学生个体。最后再通过层次分析法得出：培训、是否上过数模课、语言、毅力和领导能力这5项指标为数学建模的关键素质。
针对问题2，根据问题1中求得的数学建模中的5项关键素质，采用十分制对附表中的7项能力赋予相应的重要程度，采用层次分析法得到每一项能力的权重，我们将其转化为如何从33名队员中选出24名队员并且将其分为8个小组，使得其综合竞争力最大，建立了基于非线性规划的最佳组队模型。将整个队伍的最大竞争力作为目标函数，假设在每个队伍中均选取能力最强的队员的能力作为度量的指标，以及每个队员只能参加一个队等约束条件得出约束方程组。利用LINGO软件求出最佳组队方案，最后我们采用计算机编程模拟，利用计算机随机模拟出100种组队方案，并和通过最佳组队模型得出的组队方案相比较，发现最优组队模型算出的为竞争力最大的一种方案。
针对问题3，为了更好的选拔数学建模队员，我们加入了问题一中运用到的6个指标：是否参加过培训、是否上过数模课、语言表达能力、毅力、领导能力以及团队合作能力。而团队合作能力是综合3个队员的平均合作能力得到的。添加以上6个指标后更改约束方程组和目标函数得到非线性多目标规划模型。
针对问题4，通过求解以上三个问题得出的具体度量指标以及组队最优化模型得出数模参赛队员的选拔及分组过程中应当注意的要点。
关键词：层次分析法 非线性规划 计算机编程模拟 非线性多目标规划
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1.问题重述
数学建模竞赛是通过我们的创新意识及数学方法和计算机的技术解决实际问题的重要赛事。为了能够应对比赛中的一切突发状况，我们作为数学建模队员，不仅要具备良好的数学基础以及必要的建模知识、计算机编程能力和数模软件的应用能力、语言表达能力以及优秀的写作能力，而且要拥有敏捷的思维、对数学建模极高的悟性，而最为重要的是团队合作。而最好的搭配是队伍里有一位数学基础较好的同学、一位计算机能力较好的同学和一位写作能力较好的同学。
目前选拔队员主要考虑以下几个环节：
校级数学建模竞赛成绩，班上排名情况，学生综合素质（主要是在思维敏捷、知识面的面试）老师和学生的推荐等。附表列出了某学院33个报名参赛学生的部分信息，空白处为学生不愿意提供或未能了解的情况。我们需要解决以下几个问题：
1．根据我们所了解的数学建模知识，选拔数学建模队员要考察学生的哪些情况？哪些素质是数学建模的关键素质，如何进行考察？
2．根据表中信息，建立参赛队员选拔的数学模型，并根据我们的模型从表中选出24位同学，组成8个具有良好知识结构的参赛队。
3．为更好地选拔数学建模队员，表中还需增加哪些指标？根据增加的指标和采集的信息，改进我们的模型。
4．为数学建模教练组写1份500字左右的报告，提出建模队员选拔机制。
2.问题假设
1.假设各队员都发挥出自己的正常水品，不受外界环境的影响； 2.假设各参赛队之间互不影响；
3.假设问题中所提供队员的基本条件充分反映了每个队员的真实能力和水品； 4.假设我们对于数学能力、编程能力、写作能力、团队合作能力和领导能力以及这5大能力下的指标所给的相关重要程度是合理的； 5.假设所给指标都是能通过特定的方法统计得到的；
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3.符号说明
Ci 表示第i项能力
Cij 表示第i项能力下的第j项指标
A 表示判断矩阵
CI 表示一致性指标 CR 表示一致性比率
? 表示最大特征根
w 表示权向量
i 表示第i种能力的权重
cij 表示第i个队员的第j种能力指标
si 表示第i个学生
?j 表示第j种能力的权重
? 表示总的综合竞争力
B 表示成对比较阵
? 表示最终所选的8个队伍的总综合竞争力
4.问题分析
4.1问题一分析
首先就我们所了解的数学建模知识，选拔参赛队员可以通过数学基础、编程能力、写作能力、团队合作能力和领导能力这5大能力来决定。接着我们考虑到通过层次分析图将5大能力进一步量化细分成10个小的指标，然后具体运用层次分析法的步骤并构造相应的判断矩阵用MATLAB工具箱求解出各项指标所占的权重，最后通过比较10个指标的权重，选择出5个作为选拔数学建模队员的关键素质。 4.2问题二分析
先分析附表中给出的33位学生的信息和问题一中所确定的相应指标的权重，通过讨论和查阅资料，我们决定采用基于非线性规划的最佳组队模型，以整个队伍的综合竞争力作为目标函数，选取每个队伍里最强的那项技能和每个队员只能加入一个队伍作为约束条件，进一步建立约束方程组。利用LINGO软件求出最佳组队的方案，最后用计算机编程模拟随机产生的方案与所求得的最佳组队方案进行比较，求证得到最佳组队方案的优越。
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4.3问题三分析
通过问题一中所得到的6项指标：是否参加过培训、是否上过数模课、语言表达能力、毅力、领导能力以及团队合作能力，将这6项指标作为增加的指标进一步更好的选拔数学建模队员，借鉴问题二中所用到的非线性规划的最优组队模型，将其进一步改进为非线性多目标规划模型。
5.模型建立和求解
5.1问题一的模型与求解
根据我们所了解的数学建模知识，选拔数学建模队员要考察学生的数学能力、计算机能力、写作能力、团队能力和领导能力。对上述5大能力进行量化评估进一步确立指标，下面就具体的某项能力和指标说明如下：（Ci表示第i项能力，Cij表示第i项能力下的第j项指标）
C1：数学能力，作为数学建模的基础，没有较高的数学能力奠基，是无法对于数学建模进行下一步分析和求解的，而对于一位同学的数学能力，可以通过三个方面来进行检测：C11数学成绩、C12数学逻辑思维、C13知识面的广和浅。
C2：计算机能力，拥有了基本的数学能力之后，在处理问题中的大量数据以及数据的计算和分析，光靠我们的能力是无法处理和记忆这庞大的资料的，因此对于计算机能力的考察就显得至关重要。计算机能力可以通过C21专业的学习和C22对计算机后天的专业培训获得。
C3：写作能力，数学建模的写作是将我们所了解的知识和计算机能力的综合体现，对于数学建模竞赛来讲，最后交到评委面前的只有那份书面论文。能否第一时间吸引到评委的眼球将会成为这篇论文的最终命运。无论是运用的数学模型和方法，还是通过数学软件的应用得到的结果，都要靠行云流水的写作来充分的体现。而写作能力包括C31在数模课上所听取的基本格式和C32语言的炉火纯青。
C4：团队合作能力，相对于前三个素质，团队合作能力是潜藏在整个队伍里的精粹。试想一下，如果一个团队没有和谐的合作氛围，各干各的，最后东拼西凑的东西如何能上得了台面，因此团队合作能力是队伍的灵魂。团队合作能力与C41持之以恒的毅力和
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C42参赛经验息息相关。
C5：领导能力，一个队伍没有一个好的队长，就像一台电脑没有CPU一样，没有核心，无法工作。当队员们孜孜不倦地奋斗了两天之后，意志变得极其脆弱，需要领队时不时地鼓励，让意志重燃才能熬到最后，不至于前功尽弃。
为了更加直观显现上述所说选拔数模队员所要具备的素质，我们建立了以下的层次分析图：
综合竞争力 数学能力 计算机能力 写作能力 团队合作能力 领导能力 成绩 思维 知识面专业 培训 参加数模课语言 参赛与否毅力 领导 图1中由学生的综合竞争力划分出参赛队员所具备的5大能力并进一步将其细化得到参赛队员所具备的基本素质。接下来就通过层次分析法得到各项素质的权重指标来说明哪些素质是数学建模的关键素质。
5.1.1．运用层次分析法构建评优模型的基本步骤
(1)建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有一个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层。当准则过多时(譬如多于九个)应进一步分解出子准则层，本文采用图1所示的只有两个准则层的层次结构模型。
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学生 图1 数学建模队员素质层次分析图
数学建模选拔队员
