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基本不等式专题辅导
一、知识点总结
1、基本不等式原始形式
（1）若a,b?R，则a2?b2?2ab
2）若a,b?R，则ab?a2?b2（2
2、基本不等式一般形式（均值不等式）
若a,b?R*，则a?b?2ab
3、基本不等式的两个重要变形 （1）若a,b?R*，则
a?b2?ab （2）若a,b?R*，则ab???a?b?2
?2??总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；
特别说明：以上不等式中，当且仅当a?b时取“=”
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若x?0，则x?1x?2 (当且仅当x?1时取“=”） （2）若x?0，则x?1x??2 (当且仅当x??1时取“=”） （3）若ab?0，则ab?ba?2 (当且仅当a?b时取“=”）
（4）若a,b?R，则ab?(a?b2a2?b22)?2 （5）若a,b?R*，则
1a2?b211?ab?a?b?2 a?2b特别说明：以上不等式中，当且仅当a?b时取“=” 6、柯西不等式 （1）若abc,,,dR?，则(a2?b2)(c2?d2)?(acb?d)2
（2）若a1,a2,a3,b1,b2,b3?R，则有：
(a22221?a2?a23)(1b1?b2?b23)?(a1b1?a2b2?a3b3)2
（3）设a1,a2,???,an与b1,b2,???,bn是两组实数，则有 (a2221?a2?????an)(b2?b222?????bn)?(a1b1?a2b2?????a21nbn)
二、题型分析
题型一：利用基本不等式证明不等式
1、设a,b均为正数，证明不等式:ab≥
211
a?b
2、已知
a,b,c为两两不相等的实数，求证：
a2?b2?c2?ab?bc?ca
3、已知a?b?c?1，求证：a2?b2?c2?13
4、已知a,b,c?R?，且a?b?c?1，求证：
(1?a)(1?b)(1?c)?8ab c
5、已知a,b,c?R?，且a?b?c?1，求证：
??1??11???a?1????b???1???c???1? 8
学习必备 欢迎下载 题型二：利用不等式求函数值域 6、（2013年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设a,b,c均为正数,且a?b?c?1,证明: ?bc?ca?1a2(Ⅰ)abb2c23; (Ⅱ)b?c?a?1.
7、（2013年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知a?b?0，求证:2a3?b3?2ab2?a2b
1、求下列函数的值域
（1）y?3x2?12x2 （2）y?x(4?x) （3）y?x?1x(x?0) （4）y?x?1x(x?0) 题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项）
1、已知x?2，求函数y?2x?4?42x?4的最小值；
变式1：已知x?2，求函数y?2x?42x?4的最小值； 变式2：已知x?2，求函数y?2x?42x?4的最大值；
学习必备 欢迎下载 练习：1、已知x?5，求函数y?4x?2?1的最小值； 2、若0?x?2，求y?x(6?3x)的最大值；
44x?5
2、已知x?54，求函数y?4x?2?1的最大值； 4x?5
题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数） 1、当时，求y?x(8?2x)的最大值；
变式1：当时，求y?4x(8?2x)的最大值；
变式2：设0?x?32，求函数y?4x(3?2x)的最大值。
变式：若0?x?4，求y?x(8?2x)的最大值；
3、求函数y?2x?1?5?2x(12?x?52)的最大值；
（提示：平方，利用基本不等式） 变式：求函数y?4x?3?11?4x(3114?x?4)的最大值；
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