线性代数B期末试题-2016年秋
第一题(20分):令??∈????[?]为一可逆矩阵,??,??∈???,定义分块矩阵
1) (10分)求??,??的一个充分必要条件使得矩阵??可逆。 2) (10分)在1)的条件满足的情况下求???1。 第二题(20分):
1) (10分)求??的取值范围,使得矩阵
1??=???
??
??1??
????? 1
????=?
???
??? 0
第三题(15分):令矩阵??,??∈????(?)。
1) (5分)设??是对称正定矩阵,??是对称矩阵,证明存在可逆矩阵P使得???????=??且???????为对角矩阵。 2) (10分)设??和??均为对称半正定矩阵,证明存在可逆矩阵P使得???????和???????为对角矩阵。如果??仅
是对称矩阵,同样的结论是否成立?如果成立,给出证明,否则给出一个反例。
第四题(15分):令??=??2+2??+1为线性空间 ??=<1,??????(??),??????(??)???????(??)> 上的线性变换,求其在基{1,sin (??),cos(??)?sin(??)}下的矩阵。
第五题(10分):证明任何一个秩为??的矩阵总可以写成??个秩为1的矩阵之和。 第六题(10分):在?2中,对于任意??,??∈?2,定义二元函数 求证(??,??)是?2的一个内积,并求?2关于该内积的一个标准正交基。
(??,??)=??1??1???1??2???2??1+4??1??2
正定。
2) (10分)判断下列矩阵是否正定(给出判断依据):
320 132002?1??=?252 1?,B=?2400?,C=??12
02?1000110?1
00110 01103
00
?10? 2?1?12
第七题(10分):对任一矩阵??,我们定义??????????(??)为矩阵??列向量组生成的线性空间,定义?????? (??)为齐次线性方程组????=0的解空间。?m是标准内积空间。
1) (5分)令??∈????×??(?),证明 ??????(???)⊕??????????(??)=???。
命题:
a. 线性方程组????=??的任何一个解??都满足?????=??。
b. 存在一个向量??∈???,使得??=?????,??=?????。
2) (5分)令矩阵??∈????×??(?),??∈??????????(??)????,??∈???,??∈?。证明下面的两个命题为等价
北京大学线性代数2016期末考试题
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