2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析
拉出，拉出速度的大小为v=2.0 m/s，方向与de边垂直，与ae边平行。试求将导线框整体从磁场中拉出的过程中外力所做的功。
参考答案：
在de边未出磁场的过程中，ab、cf和de三边切割磁力线运动，每条边产生的感应电动势相等，但感应电流为零，故不需要外力做功
① W1=0 在de边出磁场但cf边未出磁场过程中，ab和cf两条边做切割磁力线运动，导线框的等效电
路如图a所示。等效电路中每个电阻的阻值R=1.0Ω。按如图所示电流方向，根据基尔霍夫第一定律可得
I6, ?I1+I3=?I+I=?25I1, ?I7+I8, 6?I=?I4+I7=I3+I5.? ② 由基尔霍夫第二定律，对4个回路可列出4个独立方程
0,?U?2I1R+I3R?U?I5R=?U?2IR+IR?U+IR=0,?254?0, ?U?I3R?2I6R?I7R=?0. ?U?I4R+I7R?2I8R= ③ 式中，感应电动势U为
Ubl=v0.20V ④ =联立②③④式得：
I=I=0.025A 12 ⑤
I=I=0.050A 34⑥
此时，ab边和ed边所受的安培力大小分别为
FabBI=0.0050N 1lab ⑦ =FcfBI=0.010N 3lcf = ⑧ 式中lab和led分别为ab边和ed边的长度。外力所做的功为
W2=Fablef+Fcflef=0.0015J ⑨
式中lef表示ef边的长度。
在cf边移出磁场后，只有边ab切割磁力线运动产生感应电动势。此时，等效电路如图b所示，电路中电动势的大小和电阻阻值不变。根据基尔霍夫定律可得
I6, ?I1+I3=?I+I=?25I1, ?I7+I8, 6?I=??I4+I7=I3+I5. ⑩ 和
0,?U?2I1R+I3R?I5R=?U?2IR+IR+IR=0,?254?0, ??I3R?2I6R?I7R=?0. ??I4R+I7R?2I8R= 联立⑩?式得
I=I=0.075A 12
?
?
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2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析
此时，ab边受到的安培力为
FabBI=0.015N 1lab =外力所做的功为 W3F=0.0015J ablaf =
? ?
整个过程中外力做的功为
W=W1+W2+W3=0.0030J ?
评分参考：①式1分，②③④式各2分，⑤⑥⑦⑧⑨式各1分，⑩?式各2分，????式各1分。
评析：
本题不难，是普通高中知识向竞赛的自然延伸。从知识点要求而言，除了高中选修3-2上E=Blv这个磁生电的基本公式外，只考察了基尔霍夫方程组这一个考点。
实际上，由于计算器是被允许使用的，类似基尔霍夫这种线性方程组使用计算器是很好计算的。目前主流的相对高级的科学计算器都集成了线性代数的模块，这为选手剩下了大量的脑细胞。所以说，大胆的列基尔霍夫，剩下的多元一次方程组，计算器就能帮你搞定。
本题可以说是没有任何难度，是作为物理竞赛的普及存在的，需要让更多人了解物理、喜欢物理，所以物理竞赛复赛在明显的区分效应的同时，也必须兼顾基础相对比较薄弱的那部分同学，所以类似本题的水题仍然会在将来的考试中出现。这种题目需要细心的求解，不妨带回去检验，保证零失误，得全分，毕竟，送给你的分你不拿，岂不是很亏？
第六题（23分） 如图，一固定的竖直长导线载有恒定电流I，其旁边有一正方形导线框，导线框可围绕过对边中心的竖直轴O1O2转动，转轴到长直导线的距离为b。已知导线框的边长为2a（a （1）导线框中的感应电动势E； （2）所需加的外力矩M。 参考答案： （1）设t时刻导线框平面与长直导线和转轴组成平面之间的夹角为θ的值为θ=ωt，如图a所示（俯视图），导线框旋转过程中只有左、右两边（图中分别用A、B表示）切割磁力线产生感应电动势。A、B两条边的速度大小相等， v=ωa ① A、B处对应的磁感应强度大小分别为 μI② B1=02πr1 μI③ B2=02πr2 其中，μ0为真空磁导率，r1、r2分别为A和B到长直导线的垂直距离。A、B两边对应的感应电动势分别为 第12页，共19页 2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析 ωa2μ0I==E1Bsinχ112avsinχ1πr1=E2B=22avsinχ2ππ式中?χ1、?χ2分别为A、B的速度方向与r1、r2的夹角。 根据几何关系得 22χ1=θ+α ⑤ χ2=θ?β其中α、β分别为r1、r2与x方向的夹角。⑤式代入④式得导线框中的感应电动势为 ωa2μ0I1?sin(θ+α)sin(θ?β)?⑥ E=E1+E2=+??rrπ12?? 根据几何关系及三角形余弦定理得α、β、r1、r2与a、b、θ之间的关系为 b?acosθ?cosα=?r1?⑦ ?asinθ?sinα= ?r?1 b+acosθ?cosβ=?r2?⑧ ?asinθ?sinβ= ?r?2 222?r1=a+b?2abcosθ⑨ ?222=++θrab2abcos?2 将⑦⑧⑨式代入⑥式得导线框的感应电动势为 ωaμ0Isinχ2πr2 2④ （2）（解法一） 要使导线框保持角导线框在电流I的磁场中旋转，受到安培力相对于轴的合力矩M0的作用， 速度为ω的匀速旋转，所加的外力矩M必须满足 M+M0=0? 正方形导线框上、下两边所受安培力的方向与转轴平行，力矩为零，只有导线框左、右两边（分别用A、B表示）受到的安培力F1和F2对合力矩有贡献，如图b所示（俯视图）。由②③式和安培力公式得F1和F2的大小为 μ0aIi? F12=aiB1=πr1 μ0aIi? =F22=aiB2πr2 式中i为导线框中的感应电流。由欧姆定律有 Eωa2μ0Ibsinωt?11?? i==+?2?222RπR?a+b?2abcosωta+b+2abcosωt?安培力的合力矩为 ωa2μ0Ibsinθ?11?+E?2?222π?a+b?2abcosθa+b+2abcosθ?⑩ 2abμ0Iωsinωt?11?+ ?2?222π?a+b?2abcosωta+b+2abcosωt? 第13页，共19页 2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析 MF1d1+F2d2=0F1acos(π22F1asin(θ+α)+F2asin(θ?β)?θ?α)+F2acos(π?θ+β)? μ0a2Ii?sin(θ+α)sin(θ?β)?+?rr2π?1?? 其中，d1和d2分别为F1和F2与转轴之间的垂直距离，?θ?α和?θ+β分别为d1和d2与A、 22B连线之间的夹角。 将⑦⑧⑨?式代入?式得需要加的外力矩为 μ0a2Iibsinωt?11??M0=?+2M=?2?22π?a+b?2abcosωta+b+2abcosωt?ππμ02a4b2I2ωsin2ωt?11?=?+2?2?222πR?a+b?2abcosωta+b+2abcosωt?2422?4μ0abIω?(a2+b2)sinωt=???22222π2R?(a+b)?4abcosωt?22? （2）（解法二） 导线框在电流I的磁场中旋转，受到安培力相对于轴的合力矩M0的作用，要使导线框保持角速度为ω的匀速旋转，所加的外力矩M必须满足 M+M0=0? 此时，安培力的合力矩的功率P0应与导线框中感应电流的功率Pi相等，即 P0=Pi? 式中 222Ibsin2ωt?E2ω2a4μ011?Pi==+? ?2?222π2RR?a+b?2abcosωta+b+2abcosωt? 安培力的合力矩为 222P0Piωa4μ0Ibsin2ωt?11?M===+? 0??22222ωωπR?a+b?2abcosωta+b+2abcosωt? 由?式可得，外力矩M为 22ωa4μ02I2b2sin2ωt?11?M=?M0=?+2?2?222πR?a+b?2abcosωta+b+2abcosωt?=??4μabIω?(a+b)sinωt?2?2222π2R?(a+b)?4abcosωt?204222222? 评分参考：第（1）问13分，①②③式各1分，④式2分，⑤式1分，⑥式2分，⑦⑧⑨式各1分，⑩式2分； 第（2）问10分，（解法一）??式各2分，??式各1分，??式各2分；（解法二）?????式各2分。 评析： 整体角度来看本题难度不大。首先要求考生掌握高中部分切割磁感线产生感应电动势的知识（E=Blv），其次需要掌握无限长通电直导线的感应磁场磁感应强度的公式。在《全国中学生物理竞赛内容提要》中，磁学相关知识对于无限长通电直导线的感应磁场磁感应强度公式的要求为“长直导线、圆线圈、螺线管中的电流的磁场分布（定性）”，也就是说并未说明需要定量计算。但是同时《全国中学生物理竞赛内容提要》对“毕奥-萨伐尔定律”以及“安培环路定理及在对称电流体系中的应用”提出了明确的要求，那么本题考查无限长通电直导线的感应磁场磁感应强度并不超纲。无限长通电直导线的磁感应强度用毕奥萨伐尔定律计算需要一重积分，用安培环路定理就更简单了，总之没有难度，但是其结论作为考生理应记住。 第14页，共19页 2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析 具备以上基础知识，本题可以说没有难点，第一问非常平稳，只需要一些初中的几何知识，一加就出来了。第二问既可以从力矩的角度求解，也可以从能量的角度求解，两者相互映证，确保送分送到考生手上，可以说，物理学会这点做的是很贴心的。 第七题（22分） 如图，1mol单原子理想气体构成的系统分别经历循环过程abcda和abc′a。已知理想气体在任一缓慢变化过程中，压强p和体积V满足函数关系p=f(V)。 （1）试证明：理想气体在任一缓慢变化过程的摩尔热容可表示为 C=CV+πpRp+VdpdVp 3p1 2p1 p1 O b c a d V 5V1 式中，CV和R分别为定容摩尔热容和理想气体常数； （2）计算系统经bc′直线变化过程中的摩尔热容； （3） 分别计算系统经bc′直线过程中升降温的转折点在p-V图中的坐标A和吸放热的转折点在p-V图中的坐标B； （4）定量比较系统在两种循环过程的循环效率。 参考答案： （1）根据热力学第一定律，有 dU=δQ+δW 这里，对于1mol理想气体经历的任一缓慢变化过程中，δQ，δW和dU可分别表示为 V1 3V1 ① ② δQ=CπdT，δW=?pdV，dU=CVdT 将理想气体状态方程 两边对T求导，可得 pV=RT pdVdpdV+V=R dTdVdT③ 式中利用了 dpdpdV =dTdVdT根据③式有 dVR =dpdTp+VdV④ 联立①②④式得 C=CV+π（2）设bc′过程方程为 pRdpp+VdV ⑤ p=α?βV 根据 ⑥ C=CV+πpRdpp+VdV 第15页，共19页
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