2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析
从题目角度来说，本题的第一问，沿承上题思路，在牛顿定律无法使用时，从动量、角动量、能量（本题中能量无法列出方程）三个角度分析。结合恢复系数的定义，第一小问解答没有难度。第二问顺水推舟，从第一问的结论出发，结合一维抛体运动求解，从思维角度也没有作出要求。最后一问显然是本题败笔，在考察了一维抛体运动后考察斜抛运动本无可厚非，但是本题需要使用微积分的手段求解（本题具体使用了导数）。这也符合大纲要求并且基础的微积分知识确实是普通高中理科生应该掌握的内容。但是本题的导数求完代入后又臭又长，形式复杂，易让考生做出自己做错了的错误判断。另一方面微积分等数学知识应该是用来辅助物理求解的，物理思维应该是最主要的考察部分，本题中代数式计算显然喧宾夺主成为本题最后一问的核心，这很不合适。
本题整体对思维要求不高，最后一题要求考生细心计算，并且对自己的答案有信心。
四、（25分）如图，飞机在距水平地面（xz平面）等高的航线KA（沿x正方向）上，以大小为v（v远小于真空中的光速c）的速度匀速飞行；机载雷达天线持续向航线正右侧地面上的被测固定目标P点（其x坐标为xP）发射扇形无线电波束（扇形的角平分线与航线垂直），波束平面与水平地面交于线段BC（BC随着飞机移动，且在测量时应覆盖被测目标P点），取K点在地面的正投影O为坐标原点。已知BC与航线KA
天线发出的无线电波束是周期性的等幅高的距离为R0。
频脉冲余弦波，其频率为f0。
（1）已知机载雷达天线经过A点（其x坐标为xA）及此后朝P点相继发出无线电波信号，由P反射后又被机载雷达天线接收到，求接收到的回波信号的频率与发出信号的频率之差（频移）。 （2）已知BC长度为Ls，讨论上述频移分别为正、零或负的条件，并求出最大的正、负频移。
（3）已知R0>>Ls，求从C先到达P点、直至B到达P点过程中最大频移与最小频移之差（带宽），并将其表示成扇形波束的张角θ的函数。
y2已知：当y<<1时，1+y≈1+。
2
参考答案：
（1）解法（一）
2按照题给坐标系，设待测点P的位置为(xP,0,a)，飞机在t=0时所在点K的位置为(0,h,0)。在时刻t1，飞机所在位置A点的坐标为(x1=xA,h,0)，机载雷达此时发出一光信号；该信号到达P点，经反射后，于时刻t2返回至飞机的机载雷达被接受，此时飞机的机载雷达的位置为(x2=xA′,h,0)，如图所示。由于光速不变，飞机做匀速直线运动，有
22R0+(x1?xP)2+R0+(x2?xP)2=c(t2?t1) ①
x2?x1=v(t2?t1) ②
R0式中=h2+a2。现设在时刻t1′，飞机所在位置A点的坐标
′,h,0)为(x1，机载雷达此时发出另一光信号；该信号到达P点，′经反射后，于时刻t2返回至飞机的机载雷达被接受，此时飞机
′,h,0)的机载雷达的位置为(x2。同理有
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2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析
22′?xP)2+R0′?xP)2=c(t2′?t1′)R0+(x1+(x2 ③
′?x1′=v(t2′?t1′)x2 ④ ′?x1=v(t1′?t1)x1 ⑤ ′?x2=v(t2′?t2)x2
由①②式和v< 1?22t2?=t1R0+(x1?xP)2+R0+(x1?xP+x2?x1)2???c1?22R0+(x1?xP)2+R0+(x1?xP)2+2(x2?x1)(x1?xP)+(x2?x1)2???c ⑥ 1222222c??R0+(x1?xP)+R0+(x1?xP)+2v(t2?t1)(x1?xP)+v(t2?t1)??≈2R20+(x1?xP)2x1?xPvc+R2?x2(t2?t1)0+(x1P)c上式右端已略去了(v/c)2级的高阶项。由⑥式解得 2 t?t2R+(x201?xP)121≈c 1?vx1cR2+(x1?x20P) 2≈2R+(x201?xP)?1vx1?xP? c?+?cR20+(x?1?xP)2?2R20+(x1?xP)22c+vc2(x1?xP)同理，由③④式和v< 2t′?t2R0+(x1′?x2P)2v21′≈c+c2(x1′?xP) 由⑦⑧式得 (t′?t2)?(t1′?t1)≈22c(R2+(xv01′?x?R2P)20+(x1?xP)2)+2c2(x1′?x1) 利用⑤式，⑨式成为 (t′2?t2)?(t1′?t1)22222 ≈c(R0+[x1?xP+v(t1′?t1)]?R0+(x1?xP))+2v2c2(t1′?t1) ≈2(x1?xP)vR22(t′?t1)0+(x1?xP)c1上式右端已略去了 (v/c)2级的高阶项。令 t1′?t1=T0 式中，T0为机载雷达在发射的光信号的周期，则 t′2?t2= T 是机载雷达接受到相应的光信号的周期。?式可写成 T?T2(xA?xP)v0=R22T0+(xA?xP)c0 或 fD≡f?f?2(xA?xP)v0=R2?x2f0 0+(xAP)c式中x1已用xA替代，而 第7页，共19页 ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ? ? ? ? 2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析 11=f=,f0TT0 是相应的光信号的频率，fD是接收到的回波信号的频率与发出信号的频率之差（频移）。?式也可写为 v?2f0cosα ? fD≡f?f0=c式中 xA?xPcosα≡2R0+(xA?xP)2 α即为从机载雷达射出的光线与飞机航线之间的夹角。 解法（二） 取航线KA和直线BC所构成的平面为新的坐标平面。K为坐标原点，航线KA为x轴，从K指向BC与Z轴交点的直线为y轴；在时刻t1，飞机所在位置A点的坐标为(x1=xA,0)；目标点P的位置(xP,R0)在这个坐标系里是固定的。 设机载雷达于时刻t发出的发射信号的相位为 Φ(=t)ω0t+? 机载雷达于时刻t1在A′点(x2=xA′(t1),0)接收到的经P式中ω0和?分别是相应的角频率和初相位。=(x1xA(t1?τ),0)发出的，其相位为 反射的信号是机载雷达于时刻t1?τ在A点 式中τ为信号往返过程所需的时间，它满足 Φ′(t1=)ω0(t1?τ)+? ① 经过时间间隔?t，同理有 Φ′t+=?t)ω0(t1+?t?τ′)+? (122R0+(x1?xP)2+R0+(x2?xP)2=cτ ② vτ ③ x2?x1= ④ 22′?xP)2+R0′?xP)2=+(x1+(x2R0cτ′ ⑤ ′?x1′=vτ′ ⑥ x2另外，由于同样的原因（飞机作匀速直线运动），还有 ′?x1=v?t ⑦ x1′?x2=v?t x2设机载雷达收到的信号的圆频率为ω，则应有 Φ′t+?t)?Φ′(t1)=ω?t (1 ⑧ 由②③式和v< 1?22τ=R0+(x1?xP)2+R0+(x1?xP+x2?x1)2???c1?22+(x1?xP)2+2(x2?x1)(x1?xP)+(x2?x1)2?R0+(x1?xP)2+R0??c ⑨ 1?R2+(x?x)2+R2+(x?x)2+2vτ(x?x)+v2τ2?01P01P1P?c?22R0+(x1?xP)2≈+cvτ22c+?()R0x1xPx1?xP2(v/c)级的高阶项。由⑨式解得 上式右端已略去了 第8页，共19页 2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析 22R0+(x1?xP)2 τ≈vc 1?c1x12R0+(x1?xP)2 22R0+(x1?xP)2?v≈1+?cc???2R0+(x1?xP)2?x1?xP ⑩ 同理，由⑤⑥式和v< 22R0+(x1?xP)22v+2(x1?xP)cc2′?xP)22v2R0+(x1 τ′≈′?xP) ? +2(x1cc由①④⑧式得 tω0(?t?τ′)?ω0(?τ) ? ω?=将 ω=2πf ? 代入?式，利用⑦⑩?式，在?t很小的情形下，略去?t的高阶项，得 ? fD≡f?f0=vf22c0 ? R0+(xA?xP)2(xA?xP) 或 ?2 fD≡f?f0=vf0cosα ? c式中 cosα≡xA?xP2+(xA?xP)2R0 α即为从机载雷达射出的光线与飞机航线之间的夹角。 （2）由于机载雷达天线发射的无线电波束面的张角的限制（见图（b）），有 Ls/2Ls/2ππ?≤α≤+2222R0+(Ls/2)2R0+(Ls/2)2 ? 频移fD分别为正、零或负的条件是： 当α<π/2（xA 时，即机载雷达发射信号时正好位于P点当θ=π/2（xA=xP）到航线的垂足处，频移 fD=0 当θ>π/2（xA>xP）时，频移fD<0。 2α=?+(Ls/2)2π/2Ls/2R0 ? ?Ls/2）（xA?xP=时，即机载雷 xP?Ls/2,h,0)处，正的频移最大 A达发射信号时正好位于(x=当 fD1=vf02R0+(Ls/2)2cLs ? Ls/2）时，即机载雷达发射信号时正好位于（xA?xP=当 (x=xP+Ls/2,h,0)处，负的频移的绝对值最大 AfD2=?2α=+π/2Ls/2R0+(Ls/2)2 ? （3）在飞机持续发射的无线电波束前沿BC全部通过目标P点过程中，多普勒频移的带宽为 第9页，共19页 vf22c0R0+(Ls/2)Ls2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析 ?=fD≡fD1?fD22Lsvvθ=f04f0sin2c2+(Ls/2)2cR0 ? 由于R0>>Ls，有θ<<1，故 22 将上式代入到?式得 ?fD=f02vθc sinθ≈θ ? 评分参考：第（1）问 16 分， (解法一) ①式2分，②式1分，③式2分，④⑤⑥⑦⑧⑨⑩????式各1分； (解法二) ①式1分，②式2分，③④式各1分，⑤式2分，⑥⑦⑧⑨⑩????式各1分； 第（2）问 6分，?式2分，频移fD分别为正、零或负的条件正确（包括?式）给2分，??式各1分； 第（3）问 3分， ?式2分，?式1分。 评析： 首先，本题计算量相对较大，其实作为竞赛角度是不合适的，竞赛更应该从知识层次以及思维层次来区分优劣。复赛作为选拔性考试，需要适当的让能力出众、思维敏捷的选手与基础知识不那么扎实、思维不那么敏捷的选手拉开差距以选拔省集训队的成员，但是过于复杂的计算是没有这个作用的。 第二个，今后的考生可以看到，物理竞赛对于小量近似要求是很高的，不只是那个连小学生都知道的sin(x)≈x，以及1/(1-x)≈1+x。例如本题的小量近似，有更高要求的同学应该自己能够意识到需要小量近似，并且能够用已有的数学知识（这里特指泰勒展开）来获得小量近似的表达式。 回到本题，首先乍一看这道题目的同学都会有这样的第一反应——多普勒效应。但是如果直接把本题的模型向多普勒效应的模型上去套，是没有用的。原因很简单：这是光波，光波的多普勒效应在v< ?????????????′=????? ????+????当然，这里需要提一句，在《全国中学生物理竞赛内容提要》中，多普勒效应在波动和狭义相对论两处被两次提及，这说明物理竞赛对多普勒效应的要求不仅仅是以声波为代表的普通机械波的多普勒效应，相对论下的光多普勒效应也做考察要求，所以上述公式尽管在很多竞赛教科书上都未涉及，但是也是有考察可能性的。 回到题目，模型不能套用了，这个时候就需要体现选手的智慧了。本题的难度也正在于此。 第一问参考答案上有两种方法，但实际上这两种方法的思想都是一致的，即引入一个非常近的新量，例如法一的t1’,t2’，以及法二中的x1’,x2’，都是基于对于时间的微元法求得的。大胆的假设，细心的计算，结合对高阶小量略去的勇气，这题才有可能能做出来。 笔者认为这一题的区分度很高。大部分物理素养不行的选手，和思维能力强、知识水平高的高层次选手在这一题的得分能够产生显著的区分效应，这对于选拔来说意义非凡。 当第一问结束后第二问和第三问是很自然的延续，给高手送分使之能够脱颖而出。 第五题（20分） 如图，“田”字形导线框置于光滑水平面上，其中每个小正方格每条边的长度l和电阻R分别为0.10 m和1.0 ?。导线框处于磁感应强度B=1.0 T的均匀磁场中，磁场方向竖直向下，边界（如图中虚线所示）与de边平行。今将导线框从磁场中匀速 第10页，共19页
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