第届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析

2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析

2015年第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题与答案解析

无锡市第一中学 魏熙锴

第一题（15分）

在太阳内部存在两个主要的核聚变反应过程：碳循环和质子-质子循环；其中碳循环是贝蒂在1938年提出的，碳循环反应过程如图所示。图中p、e+和νe分别表示质子、正电子和电子型中微子；粗箭头表示循环反应进行的先后次序。当从循环图顶端开始，质子p与12C核发生反应生成13N核，反应按粗箭头所示的次序进行，直到完成一个循环后，重新开始

p和He核的质量分别为0.511 MeV/c2、下一个循环。已知e+、1.0078 u和4.0026 u（1u≈931.494 MeV/c2），电子型中微子νe的质量可以忽略。

（1）写出图中X和Y代表的核素；

（2）写出一个碳循环所有的核反应方程式； （3）计算完成一个碳循环过程释放的核能。

参考答案：

（1）图中X和Y代表的核素分别为

15O 和 13C ①

（2）一个循环所有的核反应方程式依循换次序为

p+12C→13N ② 13N→13C+e++νe ③ p+13C→14N ④ p+14N→15O ⑤ 15O→15N+e++νe ⑥ p+15N→12C+4He ⑦

（3）整个循环的核反应，相当于

4p→4He+2e++2νe ⑧

完成一个碳循环过程释放的核能为

?=E(4mp?M4H?2me)c2e

评分参考：第（1）问4分，X和Y正确，各2分；第（2）问6分，②③④⑤⑥⑦式各1分；第（3）问5分，⑧式2分，⑨式3分。

评析：

根据《全国中学生物理竞赛内容提要》的近代物理部分，考纲要求如下：“原子核的尺度数量级 天然放射性现象 原子核的衰变 半衰期 放射线的探测 质子的发现 中子的发现 原子核的组成 核反应方程 质能关系式 裂变和聚变 质量亏损”，基本与高中选修3-5要求一致。但是作为一个不经常出现的考点，很多考生会忽视这一部分，导致面对本题时感到无所适从。这充分说明，在竞赛考试前的最后一轮复习时，按照考纲逐条过关是很有必要的。

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=[(4×1.0078?4.0026)×931.494?2×0.511] MeV⑨ ≈25.619 MeV

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从题目角度来看，本题难度不大，基本为送分题。仅有的两个难点，一个是考生对于这种循环机理的不熟悉。但是事实上，在普通高中课程中，无论是化学或是生物均会有类似循环的出现，这点只需要考生做适当的迁移，将其他学科的分析方法转移至物理学科之中，即可解决。至于总反应式，可以直接累加获得，这与化学反应的总反应式获得如出一辙，也是考察的知识迁移能力。另一方面是电子型中微子，这个微观粒子并未在教科书中着重分析，但是并不影响选手对整道题目的把握。这对于选手是否拥有相对不错的心理素质以及读题分析能力有所要求，但是可以看到要求并不高。

第二题（15分）

如图，在光滑水平桌面上有一长为L的轻杆，轻杆两端各固定一质量均为M的小球A和B。开始时细杆静止；有一质量为m的小球C以垂直于杆的速度v0运动，与A球碰撞。将小球和细杆视为一个系统。

（1）求碰后系统的动能（用已知条件和球C碰后的速度表出）； （2）若碰后系统动能恰好达到极小值，求此时球C的速度和系统的动能。

参考答案： （1）（解法一）

取碰前B球所在位置O为原点，建立坐标系（如图）。碰撞前后系统的 动量及其对细杆中心的角动量都守恒，有

mvx+MVAx+MVBx ① mv0=mvy+MVAy+MVBy ② 0=LLLLmv0=mvx+MVAx?MVBx ③ 2222式中，vx和vy表示球C碰后的沿x方向和y方向的速度分量。由于轻

C v0

A y O x B 杆长度为L，按照图中建立的坐标系有

④ [xA(t)?xB(t)]2+[yA(t)?yB(t)]2=L2 由上式对时间求导得

0 [xA(t)?xB(t)][VAx(t)?VBx(t)]+[yA(t)?yB(t)][VAy(t)?VBy(t)]=

在碰撞后的瞬间有

xA(=t0)=xB(=t0),

yA(t=0)?yB(t=0)=L

利用⑥式，⑤式在碰撞后的瞬间成为

0)VBy(t=≡0)VBy VAy≡VAy(t==

由①②⑦式得

m VAy=VBy=?vy2M

由①②③式得

m=VAx(v0?vx)

MVBx=0

利用⑧⑨⑩式，碰撞后系统的动能为

⑤

⑥

⑦ ⑧

⑨ ⑩

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11122222m(v2MVVM(VBx)())+++++VByvxyAxAy22211222 ? m(v2M(VA =x+vy)+x+2VAy)22121m22M+m2mvx+mvy(v0?vx)2+=22M4M（解法二）

取碰前B球所在位置O为原点，建立坐标系（如图）。设碰撞后，小球C的运动速率为v，细 杆中心的运动速度为VC，细杆绕中心转动的角速度为ω。碰撞前后系统的动量及其对细杆中心的 角动量都守恒，有

m=v0mvx+2MVCx ①

E=0mvy+2MVCy ② =LL?L?Lv0mvx+2M?ω? =m22?2?2式中，vx和vy表示球C碰后的沿x方向和y方向的速度分量。由①②③式得

=Vcx③

m(v0?vx) ④ 2MmVCy=?vy ⑤

2Mm=ω(v0?vx) ⑥

ML碰撞后系统的动能为

111?L?2=Em(v2(2M)(VC2x+VC2y)+2×M?ω? ⑦ x+vy)+222?2?利用④⑤⑥式，系统动能⑦式可表示成

121m22M+m2 E=mvx+(v0?vx)2+mvy ⑧

22M4M2（2）解法（一）的?式或者解法（二）的⑧式即为

1(M+m)m?m2M+m1m2?22 ? v0?+v0=Emvy+?vx?2MM+m?4M2M+m?可见，在条件

mvx=v0, M+m ?

vy=02下，碰后系统动能达到其最小值

1m22? E=v02M+m

它是小球仅与球A做完全非弹性碰撞后系统所具有的动能。

评分参考：第（1）问10分，（解法一）①②③④⑤⑦⑧⑨⑩?式各1分；（解法二）①②式各1分，③式2分，④⑤⑥各1分，⑦式2分，⑧式1分；第（2）问5分，??式各2分，?式1分。

评析：

本题的碰撞模型在普通物理中作为以通过质心垂直纸面的直线为轴角动量守恒的经典例题经常出现，对于选修了力学先修课的同学来说必然不会陌生，所以对于这部分同学，本题求解易如反掌。这里笔者认为，毕竟出卷的主要是大学教授，在高中竞赛知识之外系统的学习大学的普通物理甚至更高层次的物理知识，对于竞赛帮助很大。

从应试角度来说，如果考生不具备普通物理的经验，那么本题依旧可解。《全国中学生物理竞

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