自主广场
我夯基 我达标
3??,π),sinα=,则tan(α+)等于（ ）
52411A. B.7 C.- D.-7 773??思路解析：由条件求出tanα，再计算tan(α+).∵α∈(,π),sinα=,
54243∴cosα=?1?sin2?=-.∴ tanα=-.
54?tan??tan?4?1. ∴tan(α+)=
?741?tan?tan41.(福建高考卷，理3)已知α∈(答案：A 2.当x∈［-
??,］时，函数f(x)=sinx+3cosx的（ ） 221 2A.最大值为1，最小值为-1 B.最大值为1，最小值为-
C.最大值为2，最小值为-2 D.最大值为2，最小值为-1 思路解析：先化简再求最值.f(x)=sinx+3cosx=2sin(x+∴-
???)，∵x∈［-,］, 322??2?≤x+≤.∴-1≤f(x)≤2. 633答案：D
3.已知在△ABC中，满足tanAtanB＞1，则这个三角形一定是（ ） A.正三角形 B.等腰直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
思路解析：此题限定条件是在三角形中，可以根据三角函数值的符号来判断角的范围.在三角形中，常用到三角形的内角和定理.可以将A+B+C=π等价转化成A=π-（B+C），然后用诱导公式化简整理.由于tanAtanB＞1，可知tanA＞0，且tanB＞0，则在△ABC中，A、B必定为锐角.又∵
sinAsinB＞1，∴sinAsinB＞cosAcosB,得到cos（A+B）＜0.∴cos（π-C）
cosAcosB＜0，即cosC＞0.则C也必定是锐角.因此△ABC是锐角三角形. 答案：C
4m?6有意义，则m的取值范围是（ ） 4?m777A.（-∞，］ B.［1，+∞） C.［-1，］ D.（-∞，-1）∪［，+∞)
3334.要使得sinα-3cosα=
思路解析：利用三角函数的值域求m的取值范围. sinα-3cosα=2（
31sinα-cosα）=2sin22（α-
2m?3??4m?6?2m?3?）,∴2sin（α-）=，即sin（α-）=.∵-1≤sin（α-）≤1，∴-1≤≤1.
4?m4?m4?m3333
解不等式，可得-1≤m≤答案：C
7. 335且cosB=，则cosC的值是______________. 51334思路解析：由于在△ABC中，cosA=，可知A为锐角，∴sinA=1?cos2A=.由于
55512cosB=，可知B也为锐角，∴sinB=1?cos2B=.∴cosC=cos［π-（A+B）］=-cos（A+B）
13134123533=sinAsinB-cosAcosB=×?×=.
5135136533答案：
655.△ABC中，cosA=6. sin
??-3cos=_______________. 1212??-3cos=21212思路解析：方法一：对公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ逆用.sin
（
31?????????sin-cos）=2（sinsin-coscos）=-2cos（+）=-2cos=-2. 2122121261266124方法二：利用答案：-2
??????????=-来计算sin，sin-3cos=sin(-)-3cos(-)=-2. 124612121246467.(2006湖南常德一模)已知函数f(x)=-1+2sin2x+mcos2x的图象经过点A(0,1)，求此函数在［0,
?］上的最值. 2思路分析：先求m的值，再化简函数的解析式为y=Asin(ωx+φ)+b的形式求最值. 解：∵A(0,1)在函数的图像上， ∴1=-1+2sin0+mcos0. 解得m=2.
∴f(x)=-1+2sin2x+2cos2x =2(sin2x+cos2x)-1 =22sin(2x+∵0≤x≤
?)-1. 4?， 2??5?∴≤2x+≤. 444∴-
2?≤sin(2x+)≤1. 24∴-3≤f(x)≤22-1.
∴函数f(x)的最大值为22-1，最小值是-3.
我综合 我发展
8.已知cos（α+β）=
11，cos（α-β）=，求tanαtanβ的值. 35思路分析：化切为弦，就会发现要求tanαtanβ，就是求sinαsinβ和cosαcosβ的比值，因此，
本题应该设法求出sinαsinβ和cosαcosβ. 解：由已知,得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=cos（α-β）=cosαcosβ+ sinαsinβ=
1，① 31，② 54，③ 151①-②得sinαsinβ=?.④
15①+②得cosαcosβ=④÷③即得tanαtanβ=
sin?sin?11=?,即tanαtanβ=?.
cos?cos?449.化简
sin7??cos15?sin8?.
cos7??sin15?sin8?思路分析：本题要观察出7°+8°=15°，利用这一关系，可以减少角的个数，解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式. 解：
sin7??cos15?sin8?sin(15??8?)?cos15?sin8?=
cos7??sin15?sin8?cos(15??8?)?sin15?sin8?sin15?cos8??cos15?sin8??cos15?sin8?
cos15?cos8??sin15?sin8??sin15?sin8?sin15?cos8?sin15?tan45??tan30?==tan(45°-30°)=??tan15°?2?3. cos15?cos8?cos15?1?tan45?tan30?11110.如果α、β、γ都是锐角，并且它们的正切分别为、、，求α+β+γ的值.
258?思路分析：要求α+β+γ，先求tan（α+β+γ）.先根据α、β的正切值可以利用两角和的正切求出（α+β）的正切值，而α+β+γ又可以看作是两个角（α+β）与γ的和，再运用两角和的正切公式求解即可.但要注意确定出α+β+γ这个和的范围，才能证得结果. 解：∵tanα=
11，tanβ=， 2511?tan??tan?25?7. ∴tan（α+β）==
1191?tan?tan?1??25∴tan（α+β+γ）=tan［（α+β）+γ］
71?tan(???)?tan?98?1. ?=
711?tan(???)tan?1??98111又∵α、β、γ都是锐角且０＜tanα=＜1，0＜tanβ=＜1，0＜tanγ=＜1,
258∴0°＜α＜45°，0°＜β＜45°，0°＜γ＜45°.
∴0＜α+β+γ＜135°. ∴α+β+γ=45°.
11.已知?4<α<3?4，0<β
解：∵?4<α<3?4，
∴?2
∴sin(
?4+α)=1?cos2(?4??)?45.
∵0<β
又∵ sin(3?4+β)<π，
∴cos(
3?23?4+β)=?1?sin(4??)??1213. ∴sin(α+β)=-sin［π+(α+β)］=-sin［(?4+α)+( 3?4+β)］
=-［sin(?3??3?4+α)cos(4+β)+cos(4+α)sin(4+β)］
=-［412355×(-13) ?635×13］=65.
求sin(α+β)的值.
数学北师大必修自主训练：两角和与差的三角函数 含解析
