第三章函数
3.2函数与方程、不等式之间的关系 课时1函数的零点、三个二次间的关系 考点1函数的零点
1.函数f(x)=2x+7的零点为( )。 A.7 B. C.- D.-7
2
2
7
7
答案：C
解析：令f(x)=2x+7=0,得x=-2,∴函数f(x)=2x+7的零点为-2。
2.(2018·山东曲阜二中高一检测)函数f(x)=-x+5x-6的零点是( )。 A.-2,3 B.2,3 C.2,-3 D.-2,-3 答案：B
22
解析：令-x+5x-6=0,得x1=2,x2=3。∴函数f(x)=-x+5x-6的零点为2和3。 3.(2018·河南开封高中期末考试)下列说法中正确的个数是( )。 ①f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为(-1,0); ②f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1;
③y=f(x)的零点,即y=f(x)的图像与x轴的交点;
④y=f(x)的零点,即y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标。 A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：根据函数零点的定义,f(x)=x+1,x∈[-2,0]的零点为-1,也就是函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标。因此,只有说法②④正确,故选B。 4.下列图像表示的函数中没有零点的是( )。
2
77
图3-2-1-1
答案：A
解析：没有零点就是函数的图像与x轴没有交点,故选A。 5.(2019·辽宁鞍山八中高一月考)若函数f(x)=是 。 答案：2 解析：g(x)=f(4x)-x=
4??-14??
1
??-1??
,则函数g(x)=f(4x)-x的零点
-x。令
4??-14??
-x=0,解得x=2,则函数g(x)的零点是2。
11
【易错点拨】方程根的个数即函数的零点个数,此题转化为g(x)=0求根的问题。 6.分别判断下列函数的零点的个数,并说明理由。
2
(1)f(x)=x+6x+9; 2
答案：函数f(x)=x+6x+9的图像为开口向上的抛物线,且与x轴有唯一的公共点(-3,0),
2
所以函数f(x)=x+6x+9有一个零点,为-3。 (2)f(x)=x-??; 答案：令f(x)=0,得x-=0,即x-1=0,解得x=±1,
??1
2
1
所以函数f(x)=x-??有两个零点,为±1。 (3)f(x)={
2??-4,??∈[0,+∞),
2??2-3??-2,??∈(-∞,0)。
2
1
答案：当x≥0时,由2x-4=0,得x=2;当x<0时,由2x-3x-2=0,得x=-或2(舍去)。故函数
2
1
f(x)有两个零点,为-2,2。
考点2利用三个二次间的关系解不等式
2
7.不等式x-2x>0的解集为( )。 A.(2,+∞) B.(-∞,2)
C.(0,2) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 答案：D
2
解析：方程x-2x=0的解为x=0或x=2,结合二次函数的性质得到解集为(-∞,0)∪(2,+∞)。故答案为D。
2
8.不等式-x-3x+4≤0的解集为( )。 A.{x|x≤-4或x≥1} B.{x|0 22 解析：解法1:-x-3x+4=0两实根为-4,1,f(x)=-x-3x+4开口向下,结合二次函数的图像得到解集为{x|x≤-4或x≥1}。 2 解法2:不等式两边同乘以-1,原不等式可化为x+3x-4≥0,即(x-1)(x+4)≥0,解得x≤-4或x≥1。 2 故不等式-x-3x+4≤0的解集是{x|x≤-4或x≥1}。 故答案为A。 22 9.(2019·北京东城区高二期中)不等式(x-2x-3)(x+2)<0的解集是( )。 A.{x|-1 222 解析：令(x-2x-3)(x+2)=0等价于(x-3)(x+1)(x+2)=0,从而x=3或x=-1,结合二次函数性质得-1 2 10.(2019·德州第一中学高二月考)若不等式ax+bx+2>0的解集{x|-1 A.0 B.-1 C.1 D.2 答案：A 1 解析：由题意,可得不等式ax+bx+2>0的解集是{x|-1 11.(2019·沂南第一中学高二月考)关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-2)<0的解集是( )。 A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(1,2) D.(-∞,-1)∪(2,+∞) 答案：C 解析：关于x的不等式ax+b>0的解集是(1,+∞),∴a>0,且-=1,所以关于x的不等式 ???? ?? 2 22 (ax+b)(x-2)<0可化为(??+??)(x-2)<0,即(x-1)(x-2)<0,所以不等式的解集为{x|-1 2 12.(2018·北京日坛中学高二月考)若不等式ax+bx+c>0的解集为{x|-1 22 解析：因为不等式ax+bx+c>0的解集为{x|-1 ?? ?? 2 ?? a(x2-3x)>0,因为a<0,所以x2-3x<0,所以0 2 13.(2019·辽宁营口高中高二月考)已知关于x的不等式ax+bx-c>0的解集是(-2,1),求不 2 等式cx-bx-a>0的解集。 22 答案：解:由ax-bx-c>0的解集是(-2,1)可知-2和1是方程ax-bx-c=0的两根且a<0,∴{ ??=-??,22?{则cx-bx-a>0?2ax+ax-a>0, ?? -=-2??=2??。 ???? 2 ?? =-1, 又a<0?2x+x-1<0?x∈(-1,2)。 ∴不等式cx-bx-a>0的解集为{??|-1 2 2 1 1 14.(2019·山东莱芜二中高二月考)求关于x的不等式-4x-4ax+2x+a-a<0的解集。 222222 答案：解:令4x+(4a-2)x+a(a-1)=0,则(2x+a)(2x+a-1)=0。 ∴(??+ 1 ??22 2224 )(??+ ??2-12 )=0,解得x=-2或x=-2+ ??22 ??2??2 。结合二次函数的性质得原不等式解集为{??|??<-2 或??>- ??22 +2}。 1 考点3函数零点的应用 2 15.(2019·丹东四中高二月考)二次函数y=ax+bx+c(x∈R)的部分对应值如表。 x y 2 -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6 则不等式ax+bx+c<0的解集是 。 答案：(-2,3) 解析：由二次函数y=ax+bx+c(x∈R)的部分对应值知,x=-2时,y=0;x=3时,y=0;且函数y的 2 图像开口向上,∴不等式ax+bx+c<0的解集是(-2,3)。故答案为(-2,3)。 2 16.(2019·北京北外附校高二月考)已知二次函数f(x)=x+mx-3的两个零点为1和n,则n= ;若f(a)≤f(3),则a的取值范围是 。 答案：-3 [-5,3] 2 解析：依题意可知f(1)=0,即1+m-3=0,m=2,f(x)=x+2x-3=(x-1)(x+3),所以另一个零点为-3, 22 即n=-3。由f(a)≤f(3)得a+2a-3≤12,即a+2a-15=(a+5)(a-3)≤0。解得-5≤a≤3。 2 17.(2019·大连辽师大附中高二月考)已知二次函数f(x)=x+mx-6(m>0)的两个零点为x1和x2,且x2-x1=5。 (1)求函数f(x)的解析式; ??+??2=-??,2 答案：由题意得x+mx-6=0(m>0)的两个根为x1和x2,由韦达定理得{1 ??1??2=-6,故(x2-x1)=(x1+x2)-4x1x2=m+24=25, 22 则m=1,又∵m>0,∴m=1,故f(x)=x+x-6。 (2)解关于x的不等式f(x)<4-2x。 2 答案：由f(x)<4-2x得x+x-6<4-2x, 2 即x+3x-10<0,即(x+5)(x-2)<0, 解得-5 2 18.(2019·山东临沂一中高二月考)已知函数f(x)=3x+bx+c,不等式f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞)。 (1)求函数f(x)的解析式; ??(0)=0,??=0,??=0, 答案：由{可得{解得{ 12-2??+??=0,??=6,??(-2)=0, ∴f(x)=3x+6x。 (2)若对于任意的x∈[-2,2],f(x)+m≤3都成立,求实数m的最大值。 2 答案：f(x)+m≤3,即m≤-3x-6x+3,而当x∈[-2,2]时, 2 函数y=-3x-6x+3的对称轴为x=-1,图像的开口向下,所以函数的最小值为f(2)=-21, ∴m≤-21,即实数m的最大值为-21。 22 19.(2019·沈阳四中高二月考)已知函数f(x)=x-5ax+6a(a∈R)。 (1)解关于x的不等式f(x)<0; 答案：不等式f(x)<0,可化为(x-2a)(x-3a)<0。 ①当a=0时,不等式的解集为?; ②当a>0时,由3a>2a,得不等式的解集为(2a,3a); ③当a<0时,由3a<2a,得不等式的解集为(3a,2a); (2)若关于x的不等式f(x)≥2a的解集为{x|x≥4或x≤1},求实数a的值。 22 答案：不等式f(x)≥2a可化为x-5ax+6a-2a≥0。 22 由不等式f(x)≥2a的解集为{x|x≥4或x≤1}可知,1和4是方程x-5ax+6a-2a=0的两根。 5??=1+4,故有{2解得a=1。 6??-2??=1×4, 经检验,a=1符合题意, 故实数a的值为1。 2 20.(2019·北京三十九中高二期中)已知不等式ax-5x+b>0的解是-3 22 2 2 2 A={x|bx2-5x+a>0},B={??|??+1≥5}。 3 (1)求a,b的值; 5 答案：根据题意知x=-3,2是方程ax-5x+b=0??=-5, ??=30。 2 的两实数根,∴由韦达定理得{???? ?? =-3+2, 解得 =-3×2, { (2)求A∩B和A∪(?UB)。 答案：由(1)知,a=-5,b=30, ∴A={x|30x-5x-5>0}={??|??<-或??>},且B={??|-1 2 13 12 25 25 ?UB={??|??≤-1或??>-5},∴A∪(?UB)=R。 21.(2019·山东定陶一中高二月考)已知a,b为常数,函数f(x)=x-bx+a。 (1)当a=b-1时,求关于x的不等式f(x)≥0的解集; 2 答案：f(x)=x-bx+b-1=(x-b+1)(x-1)。 当b=2时,x∈R;当b>2时,x∈(-∞,1]∪[b-1,+∞); 当b<2时,x∈(-∞,b-1]∪[1,+∞)。 (2)当a=2b-1时,若函数f(x)在(-2,1)上存在零点,求实数b的取值范围。 2 答案：f(x)=x-bx+2b-1。 -2<2<1, ①当满足??≥0,时f(x)在(-2,1)上有零点,解得0 ??(-2)>0, {??(1)>0②当满足f(-2)·f(1)<0时,f(x)在(-2,1)上也有零点,解得- 43 ?? 2 2 ③当f(-2)=0,即b=-4时,x+4x-2=0,解得x1=4,x2=-2,不符合题意; ④当f(1)=0,即b=0时,x-1=0,解得x1=1,x2=-1,符合题意。 综上,实数b的取值范围为- 43 2 3 2 355 22.已知二次函数f(x)=ax+bx+c的图像过A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且满足a+(y1+y2)a+y1y2=0。 (1)求证:y1=-a或y2=-a; 2 答案：证明:∵a+(y1+y2)a+y1y2=0, ∴(a+y1)(a+y2)=0,解得y1=-a或y2=-a。 (2)求证:函数f(x)的图像必与x轴有两个交点; 答案：证明:当a>0时,二次函数f(x)的图像开口向上,图像上的点A或点B的纵坐标为-a<0,∴图像必与x轴有两个交点。 当a<0时,二次函数f(x)的图像开口向下,图像上的点A或点B的纵坐标为-a>0,∴图像与x轴有两个交点。 ∴二次函数f(x)的图像必与x轴有两个交点。 2 (3)若f(x)>0的解集为{x|x>m或x 2 答案：解:∵ax+bx+c>0的解集为{x|x>m或x 22
2021学年新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程、不等式之间的关系一课一练(含解析)人教B版必修一
