1
A．a＞
21B．a＜
8
11C.≤a＜ 8211
D.≤a≤ 82
16．定义：在四边形内有一点，这一点与四边形各顶点连接得到的三角形都是等腰三角形，
则称这个点为四边形的次中心．对于矩形ABCD，若AB＝5，AD＝8，则它次中心的个数为(D)
A．1 B．2 C．3 D．3个以上 【解析】作BC的垂直平分线，垂足为M，
如图1，在BC的垂直平分线上取PM＝3，连接BP，PC，AP，PD，可得AP＝PD，BP＝PC. ∵BC＝AD＝8，∴BM＝4.∴BP＝PM＋BM＝5.∴AB＝BP＝PC＝CD. ∴△PAB，△PBC，△PAD，△PCD都是等腰三角形．
如图2，同理，在BC的垂直平分线上取NM＝2，可得△NAB，△NBC，△NAD，△NCD都是等腰三角形．
如图3，AC，BD相交于点O，此时由矩形的性质，可得△OAB，△OBC，△OAD，△OCD都是等腰三角形．
作AB的垂直平分线，垂足为H，
如图4，在AB的垂直平分线上取HG＝＝GD.
522
∵AB＝5，∴AH＝.∴AG＝AH＋GH＝8.∴AD＝AG＝BG＝BC.
2∴△GAB，△GBC，△GCD，△GAD都是等腰三角形． 如图5，同理，在BC的垂直平分线上取HQ＝8－
231
，可得△QAB，△QBC，△QCD，△2
231
，连接GA，GB，GC，GD，可得GA＝GB，GC2
2
2
QAD都是等腰三角形．
因此，P，N，O，G，Q均为矩形ABCD的次中心．
二、填空题(本大题有3个小题，共11分，17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分，把答案写在题中横线上) 17．计算：－2×3－1＝－7．
22
18．一个多项式与－5x＋4x的和是2x，则这个多项式是5x－2x，把这个多项式分解因式的结果为x(5x－2)．
19．定义：几个全等的正多边形依次有一边重合，排成一圈，中间可以围成一个正多边形，我们称作正多边形的环状连接．如图，我们可以看作正六边形的环状连接，中间围成一个边长相等的正六边形．若正八边形作环状连接，中间围成的正多边形的边数为4；若边长为1的正多边形作环状连接，中间围成的是等边三角形，则这个环状连接的外轮廓长为27． 【解析】 环状连接满足：所用正多边形的外角的2倍是围成正多边形的内角即可．
如图1，正八边形的外角为
360 °
＝45 °，所以围成正多边形的内角为90 °.由于正8
方形的内角为90 °，所以中间围成的正多边形的边数为4.
图1 图2
如图2，由于等边三角形的内角是60 °，所以正n边形的内角为150 °.所以n为12.所以这个环状连接的外轮廓长为27.
三、解答题(共7小题，满分67分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)嘉淇准备完成题目：计算(24＋0.5)－(□－6)，发现被开方数“□”印刷不清楚．
1
(1)她把“□”猜成，请计算：(24＋0.5)－(□－6)；
8(2)张老师说：“这道题的正确答案是36－解：(1)原式＝(26＋＝26＋6＋＝36＋
2. 4
22－a＝36－. 22
22
)－(－6) 24
2
.”请求被开方数“□”的值． 2
22－ 24
(2)设“□”为a，则有(24＋0.5)－(a－6)＝36＋
∴a＝2.∴a＝2，即被开方数“□”的值为2.
21.(本小题满分9分)在四张大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为5，6，8，8，现将四张卡片放入一只不透明的盒子中．
(1)求这四个数字的众数；
(2)若甲抽走一张写有数字“6”的卡片．
①剩下三张卡片的三个数字的中位数与原来四张卡片的四个数字的中位数是否相同？
并说明理由；
②搅匀后乙准备从剩余的三张卡片中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，搅匀后再任意抽取一张，记下数字．求两次摸到不同数字卡片的概率．
解：(1)这四个数字的众数为8.
(2)①原来四个数字5，6，8，8的中位数为7，现在三个数字5，8，8的中位数为8，中位数不相同．
②列表如下：
5 8 8 5 (5，5) (8，5) (8，5) 8 (5，8) (8，8) (8，8) 8 (5，8) (8，8) (8，8) 一共有9种等可能结果，其中两次摸到不同数字卡片有4种等可能结果． 4
∴P(两次摸到不同数字卡片)＝.
9
22．(本小题满分9分)有规律的一组数，部分数据记录如下：
第1个数 －24 第2个数 －12 第3个数 －8 第4个数 －6 … … 第8个数 －3 … … 第n个数 －24 n(1)用含n的代数式表示第n个数； (2)若第n个数大于－2，求n的最小值； (3)若第m个数比第2m个数小4，求m的值．
24
解：(2)由题意，得－＞－2，解得n＞12.∴n的最小值为13.
n2424
(3)由题意，得－＋4＝－，解得m＝3.
m2m
经检验，m＝3是原方程的根．∴m＝3.
23．(本小题满分9分)点A，B分别在∠DPE的两边上，且PA＝PB，以AB为直径作半圆O，连接PO并延长交半圆O于点C.
(1)连接AC，BC，求证：△PAC ≌△PBC；
(2)如图1，若∠APB＝60°，PA＝4，求阴影部分的面积；
(3)如图2，若点O是△PAB的外心，判断四边形APBC的形状，并说明理由．
图1 图2
解：(1)证明：∵PA＝PB，OA＝OB，∴∠CPA＝∠CPB. 又∵PC＝PC，∴△PAC ≌△PBC(SAS)． (2)∵∠APB＝60 °，PA＝PB，OA＝OB， ∴∠CPA＝∠CPB＝30 °，OP⊥AB.
∵PA＝4，∴AO＝2.
90π×21
∴阴影部分的面积为－×2×2＝π－2.
3602
(3)四边形APBC是正方形．理由：∵点O是△PAB的外心，∴OA＝OB＝OP.
∵OC＝OA，∴OA＝OB＝OP＝OC. ∴四边形APBC是矩形．
又∵PA＝PB，∴四边形APBC是正方形．
24．(本小题满分10分)在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A(4，a)，B(6，a)，C(6，a＋2)，直线y＝kx－k＋1(k≠0)经过一定点E.
(1)求点E的坐标；
(2)如图1，若直线y＝kx－k＋1(k≠0)经过点A与点C，求点D的坐标；
(3)如图2，当k＝a＋2＜0，且直线y＝kx－k＋1(k≠0)与正方形ABCD有交点时，求k的取值范围．
2
解：(1)当x＝1时，y＝k－k＋1＝1. ∴点E的坐标为(1，1)．
(2)∵直线y＝kx－k＋1(k≠0)经过点A与点C，A(4，a)，C(6，a＋2)，
???a＝4k－k＋1，?k＝1，?∴解得? ?a＋2＝6k－k＋1，?a＝4.??
∵四边形ABCD是正方形，A(4，a)，B(6，a)， ∴AD＝AB＝2.∴D(4，a＋2)． ∴D(4，6)．
(3)∵k＝a＋2＜0，
1
∴当直线经过点C时，有k＝6k－k＋1，解得k＝－；
43
当直线经过点A时，有k－2＝4k－k＋1，解得k＝－. 231
∴k的取值范围为－≤k≤－.
24
25．(本小题满分10分)如图1，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，∠B＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转α(0°＜α＜180°)得到△EDC，直线CD交直线AB于点M.
发现：AC＝1；
探究1：如图2，若点M恰好是AB的中点，DE交AB于点N，求MN的长；
探究2：在旋转过程中，当△BMD是等腰三角形时，求点A所旋转的路径长．(结果保留
π)
解：探究1：∵∠ACB＝90 °，M是斜边AB的中点，AB＝2，∴CM＝BM＝1. ∴∠BCM＝∠B＝30 °.∴BC＝3.
∵将△ABC绕点C逆时针旋转α(0 °＜α＜180 °)得到△EDC， ∴∠B＝∠D＝30 °，CD＝BC＝3.∴∠BCM＝∠D＝30 °.∴DE∥BC. ∴∠B＝∠DNM＝30 °.∴∠DNM＝∠D＝30 °.
∴MN＝DM＝CD－CM＝3－1.
探究2：①如图3，当0 °＜α＜90 °时，连接BD，由题意得CD＝BC. 180 °－αα
∵∠DCB＝α，∴∠CDB＝∠CBD＝＝90 °－，
22αα
∠DMB＝α＋30 °，∠DBM＝90 °－－30 °＝60 °－.
22
α
当BM＝BD时，有∠CDB＝∠DMB，即90 °－＝α＋30 °，解得α＝40 °.
2
402
∴点A所旋转的路径长为π×1＝π；
1809
α
当DM＝DB时，有∠DMB＝∠DBM ，即α＋30 °＝60 °－，解得α＝20 °.
2201
∴点A所旋转的路径长为π×1＝π；
1809
②如图4，当90 °≤α＜120 °时，∠CDB＝∠CBD＝αα
∴∠BDM＝30 °＋90 °－＝120 °－，
22
180 °－αα
＝90 °－， 22
2020年河北省初中毕业生升学文化课考试数学模拟试卷（word版 有答案解析）
