高中数学极坐标与参数方程知识点
极坐标与参数方程知识点 (一)曲线的参数方程的定义:
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即
x,f(t), ,y,f(t),
并且对于t每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程
组就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数( (二)常见曲线的参数方程如下:
1(过定点(x，y)，倾角为α的直线: 00 ,x,x，tcos0 (t为参数) y,y，tsin,0
其中参数t是以定点P(x，y)为起点，对应于t点M(x，y)为终点的有向线段PM00
的数量，又称为点P与点M间的有向距离( 根据t的几何意义，有以下结论(
ABt,t1(设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t和t，则,,AB?BA 2(t,t),4t,t( BAAB
t，tAB2(线段AB的中点所对应的参数值等于( ?2 2(中心在(x，y)，半径等于r的圆: 00 ,x,x，rcos0, (为参数) y,y，rsin,0
3(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的椭圆: ,,x,bcosx,acos, (为参数) (或 ) y,bsin,y,asin,
中心在点(x0,y0)焦点在平行于x轴的直线上的椭圆的参数方程 ,x,x，acos,,0(,为参数) ,y,y，bsin.,0, 4(中心在原点，焦点在x轴(或y轴)上的双曲线: 1
,,x,btgx,asec, (为参数) (或 ) y,btg,y,asec, 5(顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线: 2x,2pt (t为参数，p,0) y,2pt
直线的参数方程和参数的几何意义
,x,x，tcos,0过定点P(x，y)，倾斜角为的直线的参数方程是 (t为参数)( ,00,yytsin,,，0,
(三)极坐标系
1、定义:在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)。对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ, θ)就叫做点M的极坐标。这样建立的坐标系叫做极坐标系。
M , , Ox 图1
2、极坐标有四个要素:?极点;?极轴;?长度单位;?角度单位及它的方向(极坐标与
,直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、对应,
,惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一(一个点可以有无数个坐标，这些,
,,,2k,坐标又有规律可循的，P(，)(极点除外)的全部坐标为(,，)或(，，,,,, k,,(2k，1),)，(Z)(极点的极径为0，而极角任意取(若对、的取值范围加以限制(则,
,2,,,,,除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定>0，0?,或<0，,?等( ,,
极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的(即一个点的极坐标是不惟一的(
3、直线相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为: aa,,,,,,,,? ? ? 0cos,cos, aaa,,,,,,,? ? ? sin,sin,cos(,,,) 2
( ， )M,,MM ,, ,0,, OxaOaO 图1 图3图2 ,,,a0a,,,,,cos,cos, ( ， ),,M M,
O ,(a,,)aN,aa ,OMOp 图5图4a 图6,,,asin, a,,,,sin,cos(,,,) 4、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为:
(a,0)? ? ? ,,a,,2acos,,,,2acos,? ? ? ,,2asin,,,,2asin,,,2acos(,,,)
M M,M, ,,axaO,, xOxaO 图3
图2 图1,,,2acos, ,,2acos,,,a
, xOMM
,,a a,M(a,,)a ,, xOOx 图5图6图4 ,,,2asin,,,2asin,,,2acos(,,,) 3
5、极坐标与直角坐标互化公式: y
, ( , )xMN ,
y , HO222,x,,cos,, x，y,,,,,,,,,, ,yy,,sin,,,tan,,(x,0),x (直极互化 图) 4
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