一、旋转 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（探索发现）
如图，?ABC是等边三角形，点D为BC边上一个动点，将?ACD绕点A逆时针旋转
60?得到?AEF，连接CE.小明在探索这个问题时发现四边形ABCE是菱形. 小明是这样想的：
（1）请参考小明的思路写出证明过程；
（2）直接写出线段CD，CF，AC之间的数量关系：______________； （理解运用）
如图，在?ABC中，AD?BC于点D.将?ABD绕点A逆时针旋转90?得到?AEF，延长FE与BC，交于点G.
（3）判断四边形ADGF的形状，并说明理由； （拓展迁移）
（4）在（3）的前提下，如图，将?AFE沿AE折叠得到?AME，连接MB，若
AD?6，BD?2，求MB的长.
【答案】（1）详见解析；（2）CD?CF?AC；（3）四边形ADGF是正方形；（4）
213 【解析】 【分析】
（1）根据旋转得：△ACE是等边三角形，可得：AB=BC=CE=AE，则四边形ABCE是菱形； （2）先证明C、F、E在同一直线上，再证明△BAD≌△CAF（SAS），则∠ADB=∠AFC，
BD=CF，可得AC=CF+CD；
（3）先根据∠ADC=∠DAF=∠F=90°，证明得四边形ADGF是矩形，由邻边相等可得四边形ADGF是正方形；
（4）证明△BAM≌△EAD（SAS），根据BM=DE及勾股定理可得结论． 【详解】
（1）证明：∵?ABC是等边三角形， ∴AB?BC?AC.
∵?ACD绕点A逆时针旋转60?得到?AEF， ∴CAE?60?，AC?AE. ∴?ACE是等边三角形. ∴AC?AE?CE. ∴AB?BC?CE?AE. ∴四边形ABCE是菱形.
（2）线段DC，CF，AC之间的数量关系：CD?CF?AC. （3）四边形ADGF是正方形.理由如下： ∵Rt?ABD绕点A逆时针旋转90?得到?AEF， ∴AF?AD，?DAF?90?. ∵AD?BC，
∴?ADC??DAF??F?90?. ∴四边形ADGF是矩形. ∵AF?AD，
∴四边形ADGF是正方形. （4）如图，连接DE.
∵四边形ADGF是正方形， ∴DG?FG?AD?AF?6.
∵?ABD绕点A逆时针旋转90?得到?AEF，
∴?BAD??EAF，BD?EF?2，∴EG?FG?EF?6?2?4. ∵将?AFE沿AE折叠得到?AME， ∴?MAE??FAE，AF?AM. ∴?BAD??EAM.
∴?BAD??DAM??EAM??DAM，即?BAM??DAE. ∵AF?AD，
∴AM?AD.
?AM?AD?在?BAM和?EAD中，??BAM??DAE，
?AB?AE?∴?BAM??EAD?SAS?. ∴BM?DE?【点睛】
本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握等边三角形和全等三角形的性质，依据图形的性质进行计算求解．
EG2?DG2?42?62?213.
2．如图①，在等腰△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=120°． （1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接CD，点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点，连接MN、PN、PM，判断△PMN的形状，并说明理由； （3）在（2）中，把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=6，请分别求出△PMN周长的最小值与最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）△PMN是等边三角形．理由见解析；（3）△PMN周长的最小值为3，最大值为15． 【解析】
分析：（1）由∠BAC=∠DAE=120°，可得∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE，利用SAS即可判定△ABD≌△ADE；（2）△PMN是等边三角形，利用三角形的中位线定理可得PM=
11CE，PM∥CE，PN=BD，PN∥BD，同（1）的方法可得BD=CE，即可得PM=PN，所22以△PMN是等腰三角形；再由PM∥CE，PN∥BD，根据平行线的性质可得∠DPM=∠DCE，∠PNC=∠DBC，因为∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC， 所以
∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，再由∠BAC=120°，可得∠ACB+∠ABC=60°，即可得∠MPN=60°，所以△PMN是等边三角形；（3）由（2）知，△PMN是等边三角形，PM=PN=
1BD，所以当PM最大时，△PMN周长最大，当点D在AB上时，BD最小，PM2最小，求得此时BD的长，即可得△PMN周长的最小值；当点D在BA延长线上时，BD最
中考数学压轴题专题复习——旋转的综合及详细答案
