即有a=2c，b=cosC=
c， =
=
，
解：根据题意得，又∵|b|=3， ∴
在
?=9?+6
2
=9×+6×1×1=-+6=；
由C为三角形的内角，可得C=． 故答案为：．
由等差数列中项性质和三角形的内角和定理可得B，再由余弦定理和面积公式，可得a=2c，b=c，再由余弦定理求得cosC，可得角C．
本题考查等差数列的中项性质和三角形的内角和定理、余弦定理和面积公式，考查方程思想和
方向上的投影为==；
故答案为．
运用向量的夹角公式和投影的概念可解决此问题． 本题考查向量的夹角，投影的概念． 13.【答案】144
运算能力，属于中档题．
11.【答案】- 【解析】
解：《沁园春?长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐?六盘山》， 分别记为A，B，C，D，E，F，
=，
由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后． 第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共
=
，
=4（种）选法
=72（种）排法，
=2即
【解析】
解：∵tan（θ+）=∴tanθ=-，
2而cosθ=
第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共
∵θ为第二象限角， ∴cosθ=-则sinθ+cosθ=故答案为：- =--，sinθ==-．
=
，
第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以可，
72÷2=144（种） 即六场的排法有4×故答案为：144．
由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共
=4（种），相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节
已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tanθ的值，再根据
目按A与F不相邻排序，共
θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ与cosθ的值，即可求出sinθ+cosθ
定序问题用倍缩法求解即可B排在D的前面，只需除以
的值．
本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题．
此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 12.【答案】 【解析】
=72（种）排法，
即可，
14.【答案】-1
【解析】
解：设切点的横坐标为x0，f′（x）=1-则有：f（x0）=x0+
-=
=1?x0=-?-a=
，
-alnx0=x0+1?lnx0-x0+1=0，
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令h（x）=lnx-x+1?h′（x）=-1=0?x=1，
则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 又因为h（1）=0，所以x0=1?a=-1； 故答案为：-1．
设切点的横坐标为x0，求出导函数，利用直线y=x+1与曲线y=f（x）相切，转化求解切点横坐标以及a的值即可．
本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法．考查转化思想以及计算能力． 15.【答案】解：（1）∵ ，
2
∴cosC= = ，
2
-1=- ． ∴cos2C=2cosC-1=2×
an+an-1=2，∵a1=1，可得an=1． （2）{an}是递增数列，∴an=2n-1．
= = ，
数列{bn}的前n项和Tn= = ＜ ， ∵ 恒成立，∴ ，解得m≥3． ∴实数m的取值范围是[3，+∞）． 【解析】
（1）n≥2时，4an=4Sn-4Sn-1，化为：（2）{an}是递增数列，取an=2n-1．可得裂项求和方法、数列的单调性即可得出．
=
，an＞0．化简进而得出．
=
=
，利用
本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17.【答案】（1）证明：
方法1：∵BE AE，DE AE，BE∩DE=E， ∴AE 平面BCDE，
以E为坐标原点，以ED，EB，EA所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图：
则A（0，0，1），B（0，1，0），C（2，1，0），D（1，0，0），
设AC的中点为M，则M（1， ， ），
（2）∵3sinA=2sinB， ∴由正弦定理可得：3a=2b， 又∵AC-BC=1，即：b-a=1， ∴解得：a=2，b=3， ∵由（1）可得：cosC= ，
∴由余弦定理可得：c= = = ，
∴△ABC的周长a+b+c=5+ ． 【解析】
2
（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosC=
的值，根据二倍角的余弦函数
=（0，，）， ∴ =（0，1，-1）， =（2，0，0）， ∴ =0， =0， ∴DM AB，DM BC，
又AB∩BC=B，AB?平面ABC，BC?平面ABC， ∴DM 平面ABC， 又DM?平面ACD， ∴平面ACD 平面ABC．
BC的中点N，DN，方法2：取AC的中点M，连接DM，MN．
在平行四边形中，由AB= ，∠BAE=45°，BE AD可得AE=BE=1，
又AD=BC=2，∴DE=1，
公式即可计算得解．
（2）由正弦定理可得：3a=2b，结合b-a=1，即可解得a，b的值，由（1）可得cosC=，利用余弦定理可求c的值，即可得解△ABC的周长．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
+4n-1-[ +4n-1-1]
，an＞0． 16.【答案】解：（1）n≥2时，4an=4Sn-4Sn-1= （），化为： =
∴an-an-1=2，或an+an-1=2，
an-an-1=2时，数列{an}是等差数列，an=1+2（n-1）=2n-1．
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∴BN=BE=DE，又BN∥DE，BE DE，
∴四边形BEDN是正方形，∴DN∥BE，BN BE， 又MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB， 又BE∩AB=B，DN∩MN=N， ∴平面DMN∥平面ABE， ∵BE AE，DE AE，BE∩DE=E， ∴AE 平面BCDE，又BC?平面BCDE， ∴AE BC，又BC BE，BE∩AE=E， ∴BC 平面EAB，
∴BC 平面DMN，∴BC DM． ∵AD= = ，CD=AB= ， ∴AD=CD，∴DM AC， 又AC∩BC=C， ∴DM 平面ABC，
又DM?平面ACD，∴平面ABC 平面ACD． （2）过P作PN BE，垂足为N，连接DN， 则PN∥AE，∴PN 平面BCDE，
∴∠PDN为直线PD与平面BCD所成的角．
设PN=x，则BN=x，故EN=1-x，∴DN= ， ∴tan∠PDN= = = ，解得x= ，即PN= ． ∵BD= = ，CD=AB= ，BC=2，
222
∴BD+CD=BC，∴BD CD．
18.【答案】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：
由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大． …（4分） 2列联表如下图： （Ⅱ）2×
“认可”手机 “不认可”手机 合计 K2=
女性用户 140 60 200 男性用户 180 120 300 合计 320 180 500
≈5.208＞2.706，
所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关． 【解析】
（Ⅰ）利用所给数据，可得频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小；
∴S△BCD= =1，
∴三棱锥P-BCD的体积V= S△BCD?PN= = ． 【解析】
（Ⅱ）求出K，与临界值比较，即可得出结论．
本题考查频率分布直方图的作法及应用，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 19.【答案】解：（1）∵椭圆 ：1，
a=2，b=1， ∴ ，解得
∴椭圆C的方程为
2
（1）取AC中点M，建系，利用向量证明DM AB，DM BC即可得出DM 平面ABC，故而平面ACD 平面ABC；
（2）做出直线PD与平面BCD所成角，求出P到平面BCDE的距离，代入体积公式即可． 本题考查来了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．
的离心率为 ，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 ＞ ＞
．
证明：（2）∵椭圆C的方程为
=1，∴A（-2，0），B（0，-1），
22
=1，即m+4n=4，
设M（m，n），（m＞0，n＞0），则
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则直线BM的方程为y=令y=0，得 ，
，
∴f（x）min=f =+（2-a） -aln =a--aln ，
∵f（x）＞0，∴f（x）min＞0，即a--aln ＞0，∴1- -ln ＞0，
同理，直线AM的方程为y= ，令x=0，得 ， | +2|×| |= ∴ × =
= =2，
令g（a）=1- -ln =- -lna+1+ln2（a＞0）， ∴g′（a）=- - ＜0，
∴g（a）在（2，+∞）上单调递减， 又g（2）= ＞0，g（3）= -ln ＜0， ∴g（a）在（2，3）上存在唯一零点x0， ∴2＜a＜x0，（2＜x0＜3）．
综上所述，a的取值范围为（-∞，x0），故a的最大整数值为2．
∴四边形ABCD的面积为定值2． 【解析】
（1）由椭圆的离心率为此能求出椭圆C的方程．
22
（2）设M（m，n），（m＞0，n＞0），则m+4n=4，从而直线BM的方程为y=
，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，列出方程组，求出a，b，由
【解析】
，进而
+2|×|
，由
（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=
（2）利用（1）的单调性，对a分类讨论，进而得出结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
，对a分类讨论即可得出单调性．
，同理，得，进而×|
此能证明四边形ABCD的面积为定值2．
本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、直线与椭圆位置关系等知识点的合理运用． 20.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）=2x+2-a- =
=
，
当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞0时，令f′（x）＞0，得x＞ ，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜ ， ∴f（x）在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增． （2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增， 又f（1）=3-a＞0，所以当x≥1时，f（x）≥f（1）＞0，满足题意．
由（1）知，当a＞0时，f（x）在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增． 若 ＜ ≤1，即0＜a≤2，f（x）在[1，+∞）上单调递增， 所以当x≥1时，f（x）≥f（1）=3-a＞0，满足题意．
若 ＞1，即a＞2，f（x）在 ， 上单调递减，在 ， 上单调递增．
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北京市清华大学附属中学2024届高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题(解析版)
