2019年
专题检测（十三） 数 列
A卷——夯基保分专练
一、选择题
1．(2017·武汉调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1＝( )
A．－2 1C. 2
B．－1 2D． 3
解析：选B 由S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2， 得a3＋a4＝3a4－3a2，即q＋q＝3q－3， 3
解得q＝－1(舍去)或q＝，
2
333
将q＝代入S2＝3a2＋2中，得a1＋a1＝3×a1＋2，
222解得a1＝－1.
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·31A. 31C. 2
n－1
2
2
1
－，则x的值为( ) 6
1
B．－
31
D．－
2
1??1?1n－1n－2?n－1
解析：选C 当n＝1时，a1＝S1＝x－，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝?x·3－?－?x·3－?＝x·(3
6??6?6?－3
n－2
)＝2x·3
n－2
，∵{an}是等比数列， 211
＝x＝x－，∴x＝. 362
∴a1＝2x·3
1－2
3．公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，S8＝32，则S10等于( ) A．18 C．60
B．24 D．90
2
2
解析：选C 设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a4＝a3a7，得(a1＋3d)＝(a1＋2d)(a1＋6d)，故2a1＋3d＝0，再由S8＝8a1＋28d＝32，得2a1＋7d＝8，则d＝2，a1＝－3，所以S10＝10a1＋45d＝60.
4．已知等差数列{an}的公差为d，关于x的不等式dx＋2a1x≥0的解集为[0,9]，则使数列{an}的前n项和
2
Sn最大的正整数n的值是( )
A．4 C．6
2
B．5 D．7
2
解析：选B ∵关于x的不等式dx＋2a1x≥0的解集为[0,9]，∴0,9是一元二次方程dx＋2a1x＝0的两个实
2019年
2a19d11?11?数根，且d<0，∴－＝9，a1＝－.∴an＝a1＋(n－1)d＝?n－?d，可得a5＝－d>0，a6＝d<0.∴使数列{an}
2?d222?的前n项和Sn最大的正整数n的值是5.
111*
5．(2018届高三·广东五校联考)数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N)，则＋＋…＋的值
a1a2a2 016
为( )
A.C.4 032
2 0172 015
2 016
4 028B. 2 0152 014D. 2 015
解析：选A 由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n可得an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝所以an＝
n－1
2
n＋2
，
n2＋n1?12?1
，所以＝2＝2?－?， 2ann＋n?nn＋1?
1111?111
故＋＋…＋＝2?1－＋－＋…＋
2 016a1a2a2 016?223
－
1??1?4 032
1－＝2. ??＝2 017???2 017?2 017
32
6．设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.若首项a1＝，公差d＝1，则满足Sk2＝(Sk)的正整数k的值为( )
2A．7 C．5
解析：选D 法一：由题意知，
B．6 D．4
Sk2＝
k2a1＋ak2
2
33?22＝
233?22＝
2
2??k2?＋＋k－1?
?k2k2＋2
＝
2
，
ka1＋akSk＝
2
2
??k?＋＋k－1?
k2k2＋2
2
?kk＋2
＝
2
，
2
因为Sk2＝(Sk)，所以
2
＝
k2k＋2
4
22
，得k＝4.
2
2
2
2
2
2
2
法二：不妨设Sn＝An＋Bn，则Sk2＝A(k)＋Bk，Sk＝Ak＋Bk，由Sk2＝(Sk)得k(Ak＋B)＝k(Ak＋B)，考虑
d1d2222222
到k为正整数，从而Ak＋B＝Ak＋2ABk＋B，即(A－A)k＋2ABk＋(B－B)＝0，又A＝＝，B＝a1－＝1，所以
222
12
k－k＝0，又k≠0，从而k＝4. 4
二、填空题
7．(2017·长沙模拟)等比数列{an}的公比为－2，则ln(a2 017)－ln(a2 016)＝________. 解析：因为
2
2
an?an?2＝2，从而ln(a)2－ln(a)2＝ln?a2 017?2＝ln 2. ＝－2(n≥2)，故??2 0172 016?a2 016?an－1?an－1???
2019年
答案：ln 2
8．(2018届高三·福建八校联考)在数列{an}中，n∈N，若
*
an＋2－an＋1
＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比
an＋1－an数列”，下列是对“等差比数列”的判断：
①k不可能为0；
②等差数列一定是“等差比数列”； ③等比数列一定是“等差比数列”； ④“等差比数列”中可以有无数项为0. 其中所有正确判断的序号是________．
解析：由等差比数列的定义可知，k不为0，所以①正确，当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当{an}是等比数列，且公比q＝1时，{an}不是等差比数列，所以③错误；数列0,1,0,1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．
答案：①④
9．(2017·福建质检)已知数列{an}满足a1＝－40，且nan＋1－(n＋1)an＝2n＋2n，则an取最小值时n的值为_______．
解析：由nan＋1－(n＋1)an＝2n＋2n＝2n(n＋1)， 两边同时除以n(n＋1)，得
2
2
an＋1an－＝2， n＋1n?an?
所以数列??是首项为－40、公差为2的等差数列，
?n?
所以＝－40＋(n－1)×2＝2n－42， 所以an＝2n－42n，
对于二次函数f(x)＝2x－42x，
2
2
annb－42
在x＝－＝－＝10.5时，f(x)取得最小值，
2a4
因为n取正整数，且10和11到10.5的距离相等， 所以n取10或11时，an取得最小值． 答案：10或11 三、解答题
10．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式；
(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列． 解：(1)设{an}的公比为q.
??a1
由题设可得?
?a1?
1＋q＝2，1＋q＋q2
＝－6.
2019年
??a1＝－2，解得?
?q＝－2.?
n＋1
n故{an}的通项公式为an＝(－2). －2×[1－－2(2)由(1)可得Sn＝
1－－22n2＝－＋(－1).
33
4n2由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)
3
n＋3
n]
－23
n＋2
?2
＝2?－＋－1?3
n2
n＋1
?＝2S，
n3??
2
故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．
11．已知等差数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公差为d，且不等式a1x－3x＋2＜0的解集为(1，d)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足bn－an＝
2
1
，求数列{bn}的前n项和Sn. n＋n2
2
解：(1)由不等式a1x－3x＋2＜0的解集为(1，d)，可得a1＞0且1，d为方程a1x－3x＋2＝0的两根，即有32
1＋d＝，d＝，解得a1＝1，d＝2，
a1a1
则数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (2)bn－an＝
1111111＝－，即bn＝an＋－＝2n－1＋－， n＋nnn＋1nn＋1nn＋1
211?11?111
则数列{bn}的前n项和Sn＝(1＋3＋…＋2n－1)＋?1－＋－＋…＋－＝n(1＋2n－1)＋1－＝nn＋1?n＋1?223?2
nn2＋. n＋1
12．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且6Sn＝3(1)求a的值及数列{an}的通项公式；
?1?2
(2)若bn＝(1－an)log3(an·an＋1)，求数列??的前n项和Tn.
?bn?
n＋1
＋a(n∈N)．
*
解：(1)∵6Sn＝3
n＋1
＋a(n∈N)，
*
①
∴当n＝1时，6S1＝6a1＝9＋a， 当n≥2时，6Sn－1＝3＋a， ①－②得，6an＝2×3， 即an＝3
n－1
nn ②
，
∵{an}是等比数列，∴a1＝1，则9＋a＝6，得a＝－3， ∴数列{an}的通项公式为an＝3
n－1
(n∈N)．
*
(2)由(1)得bn＝(1－an)log3(an·an＋1)＝(3n－2)(3n＋1)，
2
2019年
111∴Tn＝＋＋…＋
b1b2bn＝
111＋＋…＋ 1×44×73n－23n＋1
11?1?111
－＝?1－＋－＋…＋?
4473n－23n＋1?3?＝
n. 3n＋1
B卷——大题增分专练
1．新定义运算：?
?a b?
?c d ??＝ad－bc，若数列{an}满足a1＝2?an＋1 3，?? an (1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足：bn＝anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)因为??an＋1 n?
? a n＋1??
＝0，所以(n＋1)an＋1＝nan，
n所以数列{na是常数列，因为a222
n}1＝3，所以nan＝3，所以an＝3n.
(2)因为bn＝anan＋1， 所以bn＝
4n＋1＝4?9?1
?n－1n＋1?9n??
， 所以T4?111
11n＝9??1－2＋2－3＋…＋n－n＋1???
＝4?9??1－1n＋1??4n?＝9n＋1， 所以T4nn＝
9
n＋1
. 2．已知数列{bn}满足3(n＋1)bn＝nbn＋1，且b1＝3. (1)求数列{bn}的通项公式；
(2)已知ann＋15111
b＝3，求证：6≤a＋＋…＋<1.
n2n＋1a2an解：(1)因为3(n＋1)bn＝nbn＋1， 所以
bn＋13n＋1b＝. nn因此，b2b＝3×21，b33b44bnnb＝3×，b＝3×，…，＝3×，
12233bn－1n－1
上面式子累乘可得bn＝3
n－1
b×n，
1
因为bn1＝3，所以bn＝n·3.
(2)证明：因为anb＝n＋1
2n＋3
，
nn?n＋1??
＝0.
2020高考数学二轮复习专题检测十三数列理
