2019年
专题检测(十三) 数 列
A卷——夯基保分专练
一、选择题
1.(2017·武汉调研)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3a2+2,S4=3a4+2,则a1=( )
A.-2 1C. 2
B.-1 2D. 3
解析:选B 由S2=3a2+2,S4=3a4+2, 得a3+a4=3a4-3a2,即q+q=3q-3, 3
解得q=-1(舍去)或q=,
2
333
将q=代入S2=3a2+2中,得a1+a1=3×a1+2,
222解得a1=-1.
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·31A. 31C. 2
n-1
2
2
1
-,则x的值为( ) 6
1
B.-
31
D.-
2
1??1?1n-1n-2?n-1
解析:选C 当n=1时,a1=S1=x-,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=?x·3-?-?x·3-?=x·(3
6??6?6?-3
n-2
)=2x·3
n-2
,∵{an}是等比数列, 211
=x=x-,∴x=. 362
∴a1=2x·3
1-2
3.公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于( ) A.18 C.60
B.24 D.90
2
2
解析:选C 设数列{an}的公差为d(d≠0),由a4=a3a7,得(a1+3d)=(a1+2d)(a1+6d),故2a1+3d=0,再由S8=8a1+28d=32,得2a1+7d=8,则d=2,a1=-3,所以S10=10a1+45d=60.
4.已知等差数列{an}的公差为d,关于x的不等式dx+2a1x≥0的解集为[0,9],则使数列{an}的前n项和
2
Sn最大的正整数n的值是( )
A.4 C.6
2
B.5 D.7
2
解析:选B ∵关于x的不等式dx+2a1x≥0的解集为[0,9],∴0,9是一元二次方程dx+2a1x=0的两个实
2019年
2a19d11?11?数根,且d<0,∴-=9,a1=-.∴an=a1+(n-1)d=?n-?d,可得a5=-d>0,a6=d<0.∴使数列{an}
2?d222?的前n项和Sn最大的正整数n的值是5.
111*
5.(2018届高三·广东五校联考)数列{an}满足a1=1,且an+1=a1+an+n(n∈N),则++…+的值
a1a2a2 016
为( )
A.C.4 032
2 0172 015
2 016
4 028B. 2 0152 014D. 2 015
解析:选A 由a1=1,an+1=a1+an+n可得an+1-an=n+1,利用累加法可得an-a1=所以an=
n-1
2
n+2
,
n2+n1?12?1
,所以=2=2?-?, 2ann+n?nn+1?
1111?111
故++…+=2?1-+-+…+
2 016a1a2a2 016?223
-
1??1?4 032
1-=2. ??=2 017???2 017?2 017
32
6.设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.若首项a1=,公差d=1,则满足Sk2=(Sk)的正整数k的值为( )
2A.7 C.5
解析:选D 法一:由题意知,
B.6 D.4
Sk2=
k2a1+ak2
2
33?22=
233?22=
2
2??k2?++k-1?
?k2k2+2
=
2
,
ka1+akSk=
2
2
??k?++k-1?
k2k2+2
2
?kk+2
=
2
,
2
因为Sk2=(Sk),所以
2
=
k2k+2
4
22
,得k=4.
2
2
2
2
2
2
2
法二:不妨设Sn=An+Bn,则Sk2=A(k)+Bk,Sk=Ak+Bk,由Sk2=(Sk)得k(Ak+B)=k(Ak+B),考虑
d1d2222222
到k为正整数,从而Ak+B=Ak+2ABk+B,即(A-A)k+2ABk+(B-B)=0,又A==,B=a1-=1,所以
222
12
k-k=0,又k≠0,从而k=4. 4
二、填空题
7.(2017·长沙模拟)等比数列{an}的公比为-2,则ln(a2 017)-ln(a2 016)=________. 解析:因为
2
2
an?an?2=2,从而ln(a)2-ln(a)2=ln?a2 017?2=ln 2. =-2(n≥2),故??2 0172 016?a2 016?an-1?an-1???
2019年
答案:ln 2
8.(2018届高三·福建八校联考)在数列{an}中,n∈N,若
*
an+2-an+1
=k(k为常数),则称{an}为“等差比
an+1-an数列”,下列是对“等差比数列”的判断:
①k不可能为0;
②等差数列一定是“等差比数列”; ③等比数列一定是“等差比数列”; ④“等差比数列”中可以有无数项为0. 其中所有正确判断的序号是________.
解析:由等差比数列的定义可知,k不为0,所以①正确,当等差数列的公差为0,即等差数列为常数列时,等差数列不是等差比数列,所以②错误;当{an}是等比数列,且公比q=1时,{an}不是等差比数列,所以③错误;数列0,1,0,1,…是等差比数列,该数列中有无数多个0,所以④正确.
答案:①④
9.(2017·福建质检)已知数列{an}满足a1=-40,且nan+1-(n+1)an=2n+2n,则an取最小值时n的值为_______.
解析:由nan+1-(n+1)an=2n+2n=2n(n+1), 两边同时除以n(n+1),得
2
2
an+1an-=2, n+1n?an?
所以数列??是首项为-40、公差为2的等差数列,
?n?
所以=-40+(n-1)×2=2n-42, 所以an=2n-42n,
对于二次函数f(x)=2x-42x,
2
2
annb-42
在x=-=-=10.5时,f(x)取得最小值,
2a4
因为n取正整数,且10和11到10.5的距离相等, 所以n取10或11时,an取得最小值. 答案:10或11 三、解答题
10.(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列. 解:(1)设{an}的公比为q.
??a1
由题设可得?
?a1?
1+q=2,1+q+q2
=-6.
2019年
??a1=-2,解得?
?q=-2.?
n+1
n故{an}的通项公式为an=(-2). -2×[1--2(2)由(1)可得Sn=
1--22n2=-+(-1).
33
4n2由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)
3
n+3
n]
-23
n+2
?2
=2?-+-1?3
n2
n+1
?=2S,
n3??
2
故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
11.已知等差数列{an}的首项为a1(a1≠0),公差为d,且不等式a1x-3x+2<0的解集为(1,d). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足bn-an=
2
1
,求数列{bn}的前n项和Sn. n+n2
2
解:(1)由不等式a1x-3x+2<0的解集为(1,d),可得a1>0且1,d为方程a1x-3x+2=0的两根,即有32
1+d=,d=,解得a1=1,d=2,
a1a1
则数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d=2n-1. (2)bn-an=
1111111=-,即bn=an+-=2n-1+-, n+nnn+1nn+1nn+1
211?11?111
则数列{bn}的前n项和Sn=(1+3+…+2n-1)+?1-+-+…+-=n(1+2n-1)+1-=nn+1?n+1?223?2
nn2+. n+1
12.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且6Sn=3(1)求a的值及数列{an}的通项公式;
?1?2
(2)若bn=(1-an)log3(an·an+1),求数列??的前n项和Tn.
?bn?
n+1
+a(n∈N).
*
解:(1)∵6Sn=3
n+1
+a(n∈N),
*
①
∴当n=1时,6S1=6a1=9+a, 当n≥2时,6Sn-1=3+a, ①-②得,6an=2×3, 即an=3
n-1
nn ②
,
∵{an}是等比数列,∴a1=1,则9+a=6,得a=-3, ∴数列{an}的通项公式为an=3
n-1
(n∈N).
*
(2)由(1)得bn=(1-an)log3(an·an+1)=(3n-2)(3n+1),
2
2019年
111∴Tn=++…+
b1b2bn=
111++…+ 1×44×73n-23n+1
11?1?111
-=?1-+-+…+?
4473n-23n+1?3?=
n. 3n+1
B卷——大题增分专练
1.新定义运算:?
?a b?
?c d ??=ad-bc,若数列{an}满足a1=2?an+1 3,?? an (1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足:bn=anan+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)因为??an+1 n?
? a n+1??
=0,所以(n+1)an+1=nan,
n所以数列{na是常数列,因为a222
n}1=3,所以nan=3,所以an=3n.
(2)因为bn=anan+1, 所以bn=
4n+1=4?9?1
?n-1n+1?9n??
, 所以T4?111
11n=9??1-2+2-3+…+n-n+1???
=4?9??1-1n+1??4n?=9n+1, 所以T4nn=
9
n+1
. 2.已知数列{bn}满足3(n+1)bn=nbn+1,且b1=3. (1)求数列{bn}的通项公式;
(2)已知ann+15111
b=3,求证:6≤a++…+<1.
n2n+1a2an解:(1)因为3(n+1)bn=nbn+1, 所以
bn+13n+1b=. nn因此,b2b=3×21,b33b44bnnb=3×,b=3×,…,=3×,
12233bn-1n-1
上面式子累乘可得bn=3
n-1
b×n,
1
因为bn1=3,所以bn=n·3.
(2)证明:因为anb=n+1
2n+3
,
nn?n+1??
=0.
2020高考数学二轮复习专题检测十三数列理
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