总习题十 1? 填空?
(1)第二类曲线积分?Pdx?Qdy?Rdz化成第一类曲线积分是____________?
?其中?、?、?为有向曲线弧?上点(x? y? z)处的_____________的方向角?
??(Pcos??Qcos??Rcos?)ds? 切向量?
(2)第二类曲面积分??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy化成第一类曲面积分是_______?
? 解
其中?、?、?为有向曲面?上点(x? y? z)处的________的方向角? 解
??(Pcos??Qcos??Rcos?)dS? 法向量?
? 2? 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论? 设曲面?是上半球面? x2?y2?z2?R2(z?0)? 曲面?1是曲面?在 第一卦限中的部分? 则有________? (A)??xdS?4??xdS? (B)??ydS?4??xdS?
??1??1 (C)??zdS?4??xdS? (D)??xyzdS?4??xyzdS?
??1??1 解 (C)? 3? 计算下列曲线积分? (1)?Lx2?y2ds? 其中L为圆周x2?y2?ax? 解 L的参数方程为x?a?acos?? y?asin?(0???2?)? 故 222 ?Lx2?y2ds??axds??L42?40ax(?)?x?2(?)?y?2(?)d? a ?4?02?2(1?co?s)?d??a4??02??|d? |2cos22??a ??|cots|dt?a2(?2cotsd?t??cotsd)t?2a2(这里令t??)? 04022
(2)?zds? 其中?为曲线x?tcos t? y?tsin t? z?t(0?t?t0)?
? 解 ?zds??t?(cost?tsint)2?(sint?tcost)2?1dt ?0t0 ??Lt0023(2?t0)?22? 2?tdt?32 (3)?(2a?y)dx?xdy? 其中L为摆线x?a(t?sin t)? y?a(1?cos t)上对应t从0到2?的一段弧? 解 2??L(2a?y)dx?xdy??[(2a?a?acost)?a(1?cost)?a(t?sint)?asint]dt 02 ?a??02?tsintd?t?2?a2? (4)?(y2?z2)dx?2yzdy?x2dz? 其中?是曲线x?t? y?t2? z?t3上由听t1=0到t2?1的一段弧? 解 1??(y2?z2)dx?2yzdy?x2dz??[(t4?t6)?1?2t2?t3?2t?t2?3t2]dt 0 ??(?2t4?3t6)dt?1? 0351 (5)?(exsiny?2y)dx?(excosy?2)dy? 其中L为上半圆周(x?a)2?y2?a2? y?0? L沿逆时针方向? 解 这里P?exsin y?2y? Q?excos y?2? ?Q?Px??ecosy?excosy?2?2? ?x?y 令L1为x轴上由原点到(2a? 0)点的有向直线段? D为L和L1所围成的区域? 则由格林公式 ?L?L1(exsiny?2y)dx?(excoys?2)dy???(D?Q?P?)dxd y?x?yy?a2? ?2??dxd?D
y?2y)dx?(excoys?2)dy??a2??(exsiny?2y)dx?(excoys?2)dy ?L(exsinL1
??a2??0dx??a2? 02a (6)?xyzdz? 其中?是用平面y?z截球面x2?y2?z2?1所得的截痕? 从z轴的?正向看去? 沿逆时针方向?
?x2?y2?z2?1 解 曲线?的一般方程为?? 其参数方程为
y?z?t, y?2sint, z?2sint? t从0变到2?? x?cos22于是 2?2cos2cos2cosxyzd?zcost?t?t?tdt ???02222? ?2?sin2tcos2tdt?2?? 4016 4? 计算下列曲面积分? (1)???dS? 其中?是界于平面z?0及z?H之间的圆柱面x2?y2?R2? 22x?y?z2 解 ???1??2? 其中 ?1:x?R2?y2? Dxy? ?R?y?R? 0?z?H? dS?Rdydz? 22R?yRdydz? 22R?y ?1:x??R2?y2? Dxy? ?R?y?R? 0?z?H? dS?于是 dSdSdS????x2?y2?z2??x2?y2?z2??x2?y2?z2 ???12 ?2??DxtRH1?R11dz dydz?2Rdy??RR2?y2?0R2?z2R2?z2R2?y2 ?2?arctHan? R (2)??(y2?z)dydz?(z2?x)dzdx?(x2?y)dxdy? 其中?为锥面 ?
z?x2?y2(0?z?h) 的外侧? ?Q?R??0? 解 这里P?y2?z? Q?z2?x? R?x2?y? ?P??x?y?z 设?1为z?h(x2?y2?h2)的上侧? ?为由?与?1所围成的空间区域? 则由高斯公式 ???1?P??Q??R)dv?0? 222(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy?(??????x?y?z?而
??(y2?z)dyd?z(z2?x)dzd?x(x2?y)dxd?y??(x2?y)dxd y?1?1 ?h4? 22(x?y)dxd?yd?(rcos??rsin?)d?????0?0422?h?1所以 ?h4? 222(y?z)dyd?z(z?x)dzd?x(x?y)dxd?y???4? (3)??xdydz?ydzdx?zdxdy? 其中?为半球面z?R2?x2?y2的上侧? ? 解 设?1为xOy面上圆域x2?y2?R2的下侧? ?为由?与?1所围成的空间区域? 则由高斯公式得 ???1???Q?Rxdydz?ydzdx?zdxdy????(?P??)dv ?x?y?z? ????3dv?3(2?R3)?2?R3? 3?而 所以
?zydzd?xzdxd?y??xdyd??zdxd?y??0dxd?y0?0?
?1?1Dxy33xdyd?zydzd?xzdxd?y2?R?0?2?R? ???
xdydz?ydzdx?zdxdy(x?2)2(y?1)2z? (4)??? 其中?为曲面1??(z?0)的上侧?
22235169(x?y?z)?yz? 其中r?x2?y2?z2? 解 这里P?x? ? R?Q?r3r3r32?Q13y2?R13z2?P13x?????? ? ? ? ?xr3r5?xr3r5?xr3r5?Q?R33(x2?y2?z2)33r2?P?????3?5?0? 5?x?y?zr3rrr(x?2)2(y?1)2??1)的下侧? ?是由?和?1所围成的空间区域? 则 设?1为z?0(169由高斯公式 xdydz?ydzdx?zdxdy?P??Q??R)dv?0? ?(?????2223?x?y?z(x?y?z)???1? xdyd?zydzd?xzdxdyxdyd?zydzd?xzdxdy????(x2?y2?z2)3??(x2?y2?z2)3 ??10dxd?y0? 223(x?y) ???Dxy (5)??xyzdxdy? 其中?为球面x2?y2?z2?1(x?0? y?0)的外侧? ? 解 ???1??2? 其中 ?1是z?1?x2?y2(x2?y2?1? x?0? y?0)的上侧? ?2是z??1?x2?y2(x2?y2?1? x?0? y?0)的下侧?
yxyzdx d??xyzdx?d?y?xyzdx?d????1?2 ???xy1?x2?y2dxdy???xy(?1?x2?y2)dxd yDxyDxy
总习题十高等数学同济大学第六版本
