数学中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（提高）
【考纲要求】
1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；
2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
它的一般形式为ax2?bx?c?0(a≠0)． 2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：把方程变成x2?m的形式，当m＞0时，方程的解为x??m；当m＝0时，
1
方程的解x1,2?0；当m＜0时，方程没有实数解．
b?b2?4ac?2 （2）配方法：通过配方把一元二次方程ax?bx?c?0变形为?x?的形式，再??22a4a??利用直接开平方法求得方程的解．
2?b?b2?4ac（3）公式法：对于一元二次方程ax?bx?c?0，当b?4ac?0时，它的解为x?．
2a22 （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．
要点诠释：
直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．
易错知识辨析：
（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中a?0.
（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.
（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.
3．一元二次方程根的判别式
2一元二次方程根的判别式为??b?4ac． △>0?方程有两个不相等的实数根；
△＝0?方程有两个相等的实数根； △<0?方程没有实数根．
上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释：
△≥0?方程有实数根.
4．一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2?bx?c?0(a≠0)的两个根是x1、x2，那么x1?x2??，x1?x2?要点诠释：
（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． （2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．
（3）一元二次方程ax?bx?c?0(a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题．
（4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．
2bac． a2
考点二、分式方程 1.分式方程的定义
分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 要点诠释：
（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.
（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于
都是分式方程，而关于
的方程
和
的方程
和
都是整式方程.
2.分式方程的解法
去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤
(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.
口诀：“一化二解三检验”.
要点诠释：
解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 增根的产生的原因：
对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.
考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律)
关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题
关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题
其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝
利润×100%．
成本价 明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题
重点是寻找到多个等量关系，使能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题
对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特
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点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．
注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量．
2．解应用题的步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；
(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．
要点诠释：
方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．
注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 【典型例题】 类型一、一元二次方程
1．阅读材料：
为解方程(x?1)?5(x?1)?4?0，我们可以将x2?1 看作一个整体，然后设x?1?y， 那么原方程可化为y?5y?4?0……①， 解得y1?1，y2?4，
当y?1时，x2?1?1，?x2?2，?x??2；
当y?4时，x2?1?4，?x2?5，?x??5，故原方程的解为x1?2，
22222
x2??2，x3?5，x4??5．
解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程x4?x2?6?0．
【思路点拨】此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想． 【答案与解析】
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（1）换元法；
（2）设x?y，那么原方程可化为y?y?6?0 解得y1?3；y2??2
当y?3时，x2?3；?x??3 当y??2时，x2??2不符合题意，舍去． 所以原方程的解为x1?3，x2??3．
【总结升华】应用换元法解方程，体现了转化的数学思想. 举一反三：
【变式】设m是实数，求关于x的方程x2?mx?3x?m?2?0的根． 【答案】x1=1,x2=m+2.
2．设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值： （1）（x1﹣x2）2； （2）【思路点拨】
先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 【答案与解析】
解：根据根与系数的关系可得：x1+x2=﹣2，x1?x2=（1）（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+2x1x2﹣4x1x2
=（x1+x2）2﹣4x1x2
=
（2）
=x1x2+1+1+=
=10．
．
．
22=．
【总结升华】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 【变式】（2015?潜江）已知关于x的一元二次方程x﹣4x+m=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值．
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数学中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解(提高)
