1、对于任意实数a,b，定义,a?b=a(a+b) +b, 已知a?2.5=28.5，则实数a的值是 。 【答案】4，?132
?a,CA?2a22、在三角形ABC中，AB?b2?1,BCb-a= 。 【答案】0
，其中a,b是大于1的整数，则
3、一个平行四边形可以被分成92个边长为1的正三角形，它的周长可能是 。 【答案】50,94
4、已知关于x的方程x4?2x3?(3?k)x2?(2?k)x?2k?0有实根，并且所有实根
的乘积为?2，则所有实根的平方和为 。 【答案】5
5、如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜
EPB边小值
AB上一动点。PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最为 。 【答案】255 CF第五题图A6、设a，b是方程x2?68x?1?0的两个根，c，d是方程
x?86x?1?0的两个根，则(a+ c)( b + c)( a
2? d)( b ? d)的值 。
【答案】2772
7在平面直角坐标系中有两点P(-1,1) , Q (2,2)，函数y=kx?1 的图像与线段PQ 延长线相交（交点不包括Q），则实数k的取值范围是 。
26
【答案】
13?k?32
8方程xyz=2009的所有整数解有 组。 【答案】72
9如图，四边形ABCD中AB=BC=CD，∠ABC=78°，∠BCD=162°。设AD,BC延长线交于E ，则∠AEB= 。 【答案】21°
DAC
DMBC第九题图
EA第十题图B
10、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD= 90°，AB=BC=10，点M在BC上，使得ΔADM是正三角形，则ΔABM与ΔDCM的面积和是 。 【答案】300?1503 二、（本题15分）如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D在CA上，使得CD=1, AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。 解：设BC=x，则BD?AB?2Bx?1，2x?16，如图，作∠ABD平分
??ADBCAD第二大题图E线BE，则?BDE2,因此
BD?DE?DA?3DE。
DEAE?BDAB?DEAE?DE27
由角平分线定理可知
?BDAB?BD?DE?3BDAB?BD。
因此x2?1?9x?1x?16?22x?12，解得BC?x?41111
?(ab?cd)2三、（本题15分）求所有满足下列条件的四位数abcd，abcd数字c可以是0。
解：设x?ab,y?cd,，则100x?y?(x?y)2其中
，故x2?(2y?100)x?(y2?y)?0有整数
?(2y?100)?4(y?y)?4(2500?99y)是
22解，由于10< x < 100，故y≠0。因此?完全平方数， 可设t2?2500?99yx，故99y?(50?)(5t0)?t，0≤ 50- t<50+ t 之和为100，而且
其中有11的倍数，只能有50?t= 1或50?t=45，相应得到y=1,25，代入解得
?x?98?x?20?x?30,?,??因此abcd?9801,2025,3025??y?1?y?25?y?25。
四、（本题15分）正整数n满足以下条件：任意n个大于1且不超过2009的两两互素的正整数中，至少有一个素数，求最小的n。
解：由于22,32,52,72,112,132,172,192,232,292,312,372,412,432这14个合数都小于2009且两两互质，因此n≥15。
而n=15时，我们取15个不超过2009的互质合数a1,a2,?,a15的最小素因子
p1,p2,?,p15，则必有一个素数≥47，不失一般性设p15?47，由于p15是合数a15的最小素因子，因此a15?p15?47?20092，矛盾。因此，任意15个大于1且不
超过的互质正整数中至少有一个素数。综上所述，n最小是15。
五、（本题15分）若两个实数a,b,使得,a2?b与a?b2都是有理数，称数对(a,b)是和谐的。
①试找出一对无理数，使得(a，b)是和谐的；
②证明：若(a，b)是和谐的，且a+b是不等于1的有理数，则a,b都是有理数；
28
③证明：若(a，b)是和谐的，且是有理数，则a,b都是有理数；
ba解：①不难验证(a,b)?(2?11,?222)是和谐的。
②由已知t?(a2?b)?(a?b2)?(a?b)(a?b?1)是有理数，a?b?s是有理数，因此
a?b?ta?b?1，解得a?，则b??21?t?s???2?s?1?ab是有理数，当然b=s?a也是有理数。
③若a?b2?0是有理数，因此a?(a?b2)?b2也是有理数。若
??1???abb?是有理数，y?也是有理数，因此
b?ab??1b??1a22a?b?0，由已知x?a?ba?b21b?y?xxy?12，故b?xy?1y?x2是有理数，因此a?(a?b2)?b2也是有理数。
2008年新知杯上海市初中数学竞赛
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一、填空题：
1、如图：在正?ABC中，点D、E分别在边BC、CA上，使得CD?AE，AD与BE交于点
P，BQ?AD于点Q.则
QPQB?_____________.
CQEPAD
B2、不等式x2?2x?6?a对于一切实数x都成立.则实数a的最大值为_____________.
3、设an表示数n4的末位数.则a1?a2???a2008?_____________.
4、在菱形ABCD中，?A?60?，AB?1，点E在边AB上，使得AE:EB?2:1，P为对角线AC上的动点.则PE?PB的最小值为_____________.
5、关于x的方程
6、如图：设P是边长为12的正?ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F.已知PD:PE:PF?1:2:3.那么，四边形BDPF_____________.
的面积是
ax2x?1?2a?a?1的解为_____________.
2AFB30
PDEC7、对于正整数n，规定n!?1?2???n.则乘积1!?2!???9!的所有约数中，是完全平方数的共
2000-2012年（新知杯）历年上海市初中数学竞赛试卷及答案（试题全与答案分开） - 图文
