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2010年(新知杯)上海市初中数学竞赛试卷
一、填空题(第1~5小题,每题8分,第6~10小题,每题10分,共90分) 1. 已知x?1x?3,则x210?x?51x5?1x10?_________。
2. 满足方程?x?3??y2??x?y??3的所有实数对?x,y?为__________。
2?3. 已知直角三角形ABC中,CD为?C的角平分线,则_________。 ?C?90,BC?6,CA?3,
4. 若前2011个正整数的乘积1?2???2011能被2010的最大值为________。
k整除,则正整数kyAMNCx5. 如图,平面直角坐标系内,正三角形ABC的顶点B,C的坐标分别为(1,0),(3,0),过坐标原点O的一条直线分别与边AB,AC交于点M,N,
OB若OM=MN,则点M的坐标为_________。
6. 如图,矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,使得AE=2,BF=5,DG=3,AH=3,点O在线段HF上,使得四边形AEOH的面积为9,则四边形OFCG
的面积是_________。
7. 整数p,q满足p?q?2010,且关于x的一元二次方程
67x?px?q?0的两个根均为正整数,则p?________。
2AEHD
BOFGC8. 已知实数a,b,c满足a?b?c,a?b?c?0且a?0。设x1,x2是方程ax?bx?c?0的两个实数根,则平面直线坐标系内两点
A2A?x1,x2?,B?x2,x1?之间的距离的最大值为_______。
9. 如图,设ABCDE是正五边形,五角星ACEBD(阴影部分)的面积为1,设AC与BE的交点为P,BD与CE的交点为Q,则四边形APQD的面积等于_______。
10. 设a,b,c是整数,1?a?b?c?9,且abc?bca?cab?1能被9整除,则a?b?c的最小值是_________,最大值是__________。
二、 解答题(每题15分,共60分)
BPEQCD11. 已知面积为4的?ABC的边长分别为BC?a,CA?b,AB?c,c?b,AD是?A的角平分线,点C'是点C关于直线AD的对称点,若?C'BD与?ABC相似,求?ABC的周长的最小值。
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AC'BDC12. 将1,2,…,9这9个数字分别填入图1中的9个小方格中,使得三位数abc ,求三位数ceg的 def , ghi , beh , cfi 和aei都能被11整除,大值
abcdefghi7个最
13. 设实数x,y,z满足x?y?z?0,且?x?y???y?z???z?x??2,求x的最大值和最
222小值
14. 称具有a2?161b2形式的数为“好数”,其中a,b都是整数 (1)证明:100,2010都是“好数”。
(2)证明:存在正整数x,y,使得x161?y161是“好数”,而x?y不是“好数”。
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