高数课后答案--第1章

第一章 函数、极限、连续

习题1-1

1．求下列函数的自然定义域：

x3?ex?3； (1) y?21?xx?1arccos5； (3) y?x2?x?6(2) [?3,0)U(0,3]; (3) [?4,?2)U(3,6]; (4) (??,1].

(2) y?arctan1?3?x2 x?x3, x?1?sin (4) y??. 1?x?3 , x?1?解(1) [?3,?1)U(?1,1)U(1,??);

2．已知函数f(x)定义域为[0,1]，求f(x),f(cosx),f(x?c)?f(x?c) (c?0)的定义域．

解：（1）若c?定义域为：?．

3．设f(x)?解：f(2a)?1?x?a?1???,a?0,求函数值f(2a),f(1)． 2x?|x?a|?1?1?a1?a?f(1)?1?1??0，???21?1?a4a2?a????2 ,a>1,． ????0 ,0

(1) 对任何x?R有 |x?1|?|x?2|?1; (2) 对任何n?Z?有 (1?1)n?1?(1?1)n;

n?1n(3) 对任何n?Z?及实数a?1有 a?1?a?1.

n1n证明：略

5. 试将下列直角坐标方程化为极坐标方程，而把极坐标方程化为直角坐标方程:

22xy? (1) ??4; (2) ??1; (3) x?8y2; (4) ??. 254解：(1) x2?y2?16；(2) ?2(5?7sin2?)?10；(3) 8?sin2??cos??0；(4) y?x (x?0) 6．判断下列各组函数中的f(x)与g(x)是否为同一函数？说明理由！ (1) f(x)?ln?x2?1?x,g(x)??ln??x2?1?x ；

?(2) f(x)?1,g(x)?sec2x?tan2x； (3) f(x)?2lgx,g(x)?lgx2 ;

1

(4) f(x)?1?x2,g(x)?x?x ；

x解：(1) 是； (2) 不是，因为定义域不同； (3) 不是，因为定义域不同；(4) 不是，因为定义域不同．

7．试确定下列函数的单调区间：

3?x(1) y??ln(?x)； (2) y?； (3) y?1?sinx.

x1?x3解：(1) 函数的定义域为(??,0)，此时，函数y1?单调递减，y2?ln(?x)也是单调递

x减，则y?y1?y2在(??,0)内也是递减的．

1(2) 函数的定义域为(??,1)U(1,??)，而y?在(??,1)及(1,??)上单调递减，故

x?1?x1是在其定义域单调递减． y??1?1?xx?1(3) 函数的定义域为(??,??)，在(2k??3?,2k??)函数是单调递减的，在

22?(2k???2,2k??3?)函数是单调递增的. 2 (2) y?tan1；

x8. 判定下列函数的奇偶性： (1) y?x2?2cosx?1；

x?x2?2ex?e?x(3) y?； (4) y?lg.

22解：(1)因为定义域为R关于原点对称，且f(?x)?x2?2cosx?1?f(x)，所以是偶函数．

1(2) 因为定义域为R\\{0}关于原点对称，且f(?x)??tan??f(x)，所以是奇函数．

xe?x?ex(3) 因为定义域为R关于原点对称，且f(?x)??f(x)，所以是偶函数．

2(4) 虽然定义域为R关于原点对称，但

?x?x2?2f(?x)?lg?lg(x?x2?2)?1??lg(x?x2?2)?f(x),?f(x)，

2所以是非奇非偶函数．

9．设f(x)是定义在[?l,l]上的任意函数，证明：

(1) f(x)?f(?x)是偶函数，f(x)?f(?x)是奇函数； (2) f(x)可表示成偶函数与奇函数之和的形式. 证明：略

10．判断下列函数是否是周期函数？若是，指出其最小正周期： (1) y?|cosx|； (2) y?xcot2x (3) y?2?sinπ2x； (4) y?sin2x. 解：(1)周期函数，最小正周期为π； (2)不是周期函数；

2

2； π(4)周期函数，最小正周期为π． (3)周期函数，最小正周期为

11．求下列函数的反函数：

2x(1) y?x； (2) y?lnx?x2?2．

2?1yy解：(1) 依题意，2x?，则x?log2，所以反函数为

y?1y?1xf?1(x)?log2,x?(??,1)U(1,??)．

x?1ey1ex1?1(2) 依题意， x??y，所以反函数为f(x)??x, x?R

2e2e12．试判断下列函数由哪些基本初等函数复合而成：

202(1) y?e(1?x)； (2) y?(arcsinx2)4； (3) y?3cosx； (4) y?ln(1?x2?1)．

??解：(1) 由y?eu,u?v20,v?1?x复合而成； (2) 由y?u4,u?arcsinv,v?x2复合而成； (3) 由y?3u,u?v2,v?cosx复合而成； (4) 由y?lnu,u?1?v,v?1?x2复合而成；

?1 , |x|<1 ,?13．设f(x)??0, |x|=1, g(x)?ex，求f(g(x))与g(f(x))，并作出函数图形．

??1, |x|>1,??e, |x|<1 ,?1 , x<0 ,??解：f(g(x))??0 , x=0, g[f(x)]??1, |x|=1,图略。

??1, x>0,??1??e, |x|>1,14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为r，高为H．当倒进溶液后液面的高度为h时，溶液的体积为V．试把h表示为V的函数，并指出其定义区间．

V解：依题意有V?πr2h，则h?2,V?[0,πr2H]．

πr15．收音机每台售价为90元，成本为60元．厂方为了鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1元，但最低价为每台75元．

(1) 将每台的实际售价p表示为订购量x的函数； (2) 将厂方所获的利润L表示成订购量x的函数； (3) 某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？ ?90, x?100?解：依题意有(1) p??190?x, 100?x?115；

?75, x?115?

3

?30x, x?100?(2) L??(130?x)x, 100?x?115；

?15x, x?115?(3) L?15000元

习题1-2

1．设xn?2n?3(n?1,2,3,L)， 3n?1222(1) 求|x1?|,|x20?|,|x1000?|的值；

3332?6(2) 求N，使当n?N时，不等式|xn?|?10成立；

32(3) 对实数??0，求N，使当n?N时，不等式|xn?|??成立．

321211237211解：(1) |a1?|?|??|?, |a10?|?|?|?,

34312361318321997211 |a1000?|?|． ?|?33001390031112(2) 要使 |an?|?10?4, 即 ?4，则只要n?12222, 取N?12222, 故当

3(3n+1)1032n>N时，不等式|an?|?10?4成立．

32n?3211211?3?(3)要使|an?|??成立，只要|?|???，即n?, 取

39?3n?139n?32?11?3??N?1??，那么当时， n?N|a?|??成立. n?9?3??2．当x?1时，y?x2?2?3．问?等于多少，使当|x?1|??时，|y?3|?0.01？

135解：令 |x?1|?，则?|x?1|?，要使

2225|y?3|?|x2?2?3|?|x2?1|?|x?1||x?1|?|x?1|?0.01，

2只要|x?1|?0.004，所以取??0.004，使当 |x?1|?? 时，|y?4|?0.01成立．

2x2?13．当x??时，y?2?2．问X等于多少，使当|x|?X时，|y?2|?0.001？

x?22x2?155解：要使|y?2|?|2?2|?2?2<0.001, 只要x2?5000, 即|x|?5000就可以x?2x?2x了,所以取X?5000．

4

4．根据极限的定义证明：

n2?1a(1) lim?0（a为常数）； (2) lim?1； (3) lim(3x?1)?2；

n??n??nx?1nx2?43x?5 (4) lim??4； (5) lim?3.

x??2x?2x??x?1证明： 略

5．用??X或???语言，写出下列各函数极限的定义： (1) limf(x)?a； (2) limf(x)?a；

x???x???x?a(3) limf(x)?b． f(x)?b； (4) lim??x?a解: (1) ???0, ?X?0, 当x??X时, 总有|f(x)?a|??; (2) ???0, ?X?0, 当x?X, 总有|f(x)?a|??;

(3) ???0, ???0, 当a?x?a??时, 总有|f(x)?b|??; (4) ???0, ???0 当a???x?a时, 总有|f(x)?b|??．

6．若limxn?a，证明lim|xn|?|a|．并举例说明：如果数列?|xn|?收敛，但数列?xn?不

n??n??一定收敛． 证明: 略

7．对于数列?xn?，若limx2k?1?a，limx2k?a，证明：limxn?a．

k??k??n??证明: 略

8．证明：若limf(x)?A，limf(x)?A，则limf(x)?A．

x???x???x??证明: 略

习题1-3

1．求下列极限：

3?n?3； (1) lim2nn??6n3?2n?32n?1； (3) lim(1?3?L?)n??2222n(5) lim(x3?3x?5)；

x?2?1?11??L? (2) lim??； n??1?33?5(2n?1)(2n?1)??3n?2n(4) limn?1； n?1n??3?23x?1(6)lim2；

x?2x?5x?3

x2?1(7)lim2；

x?1x?4x?5

(x?h)2?x2(9) lim；

h?0h(11) lim3x?1x3?x2?9x?9(8) lim；

x??3x3?271??12?(10)lim? ?； x?28?x32?x??

3x2?1(12)lim2；

x??x?7x?3

1?x?1?x1?x?31?x；

x3?3x(13) lim3；

x??2x?7x?8

x2?3x?8(14) lim；

x??7x4?5x35