【巩固】 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算?：a?b?a(a?1)(a?2)L(a?b?1)，其中a、b表示自然数.
如果(x?3)?2?3660，那么x等于几？
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 方法一：由题中所给定义可知，则就有多少个乘数．即：60?2?3660，则x?3?60；3660?60?61，b为多少，
60?3?4?5，即3?3?60,所以x?3．
方法二：可以先将（x?3）看作一个整体y，那么就是y?2?3660，y?2?y(y?1)?3660?60?61,所以y?60，那么也就有x?3?60，60?3?4?5，即3?3?60，所以x?3．
【答案】3
【例 12】 定义a?b为a与b之间（包含a、b）所有与a奇偶性相同的自然数的平均数，例如：7?14=(7+9+11+13)?4=10，18?10=(18+16+14+12+10)?5=14 ．在算术?(19?99)=80的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 所以方格中填的数一定大于80．如果填的是个奇数，那么只能是80?2?59?101；19?99=(19+99)?2=59，
如果填的是个偶数，那么这个数与60的平均数应该是80，所以只能是80?2?60?100．因此所填的数可能是100和101．
【答案】100和101
【巩固】 如有a#b新运算，a#b表示a、b中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，21#2=1.
如（21#（21#x））=5，则x可以是________（x小于50）
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】101中学，入学测试 【解析】 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的方法.
第一步先把（21#x）看成一个整体y.对于21#y?5，这个式子，一方面可把21作被除数，则y等 于（21-5）?16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，
这样满足要求的数为26，47…，即形如21N+5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由y所 代表的式子（21#x）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须 比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些y的值都得舍去.现在只剩下8，与16.
第二步求：（21#x）?8与（21#x）?16.对于（21#x）?8可分别解得，把21作被除数时：x?13， 把21作除数时为：x?29，50，…形如21N+8的整数（N是正整数）.
对于（21#x）?16 ，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：x?37，58……所有形如21N+16 这样的整数.（N是正整数）. 所以符合条件的答案是13,29,37． 【答案】13,29,37．
【例 13】 已知x、y满足x?[y]?2009，{y}?y?20.09；其中[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示x 的小数部
分，即{x}?x?[x]，那么x? 。
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】学而思杯，6年级，第3题 【解析】 根据题意，[y]是整数，所以x?2009?[y]也是整数，那么{x}?x?[x]?0，由此可得
y?20.09?{x}?20.09?0?20.09，所以[y]?20，x?2009?[y]?2009?20?1989。
【答案】1989
6 【例 14】 规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数．若（A○5＋B△3）×（B○5+ A△3）
＝96，且A、B均为大于0的自然数，A×B的所有取值为 ．（8级）
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】走美杯，6年级，决赛 【解析】 分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3类不同的
范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。对于B也有类似，两者合起来共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论。
1) 当A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解； 2) 当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解； 3) 当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12.
所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。 4) 当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解； 5) 当3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解； 6) 当A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，则A=9.此时B=3后者B=4。则他们乘积有27与36两种； 7) 当A＜3，B≥5时，有（5+3）×（B+A）=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11与20两种； 8) 当3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此时有B=9.不符； 9) 当A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。则A=5,B=9，乘积为45。
所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种
【答案】11,20,27,36,45
模块三、观察规律型
【例 15】 如果 1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
计算 （3※2）×5。
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增
加到b个数位。（5※3）×5 ＝（5＋55＋555）×5＝3075
【答案】3075
【巩固】 规定:6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246,
1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5=
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 7※5=7+77+777+7777+77777=86415. 【答案】86415
【例 16】 有一个数学运算符号?，使下列算式成立：
2?4?8，5?3?13，3?5?11，9?7?25，求7?3??
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 通过对2?4?8，5?3?13，3?5?11，9?7?25这几个算式的观察，找到规律： ，因
此
【答案】17
7 【巩固】 规定a△b?a?(a?2)?(a?1)?b, 计算：（2△1）?L?（11△10）?______. 【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求的10项值
有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b＝a－1，所以，我们不妨把b＝a－1代入原定义． a△b?a?(a?2)?(a?1)?b就变成了a△b?a?(a?2)?(a?1)?(a?1)?a2．所以2△1?22，
11?12?233△2?32，……，3△2?112，则原式?22＋32＋42＋…＋112??1?505．
6n?(n?1)(2n?1)这里需要补充一个公式：12?22?32?42?LLn2?．
6【答案】505
【例 17】 一个数n的数字中为奇数的那些数字的和记为S?n?，为偶数的那些数字的和记为E?n?，例如
S?134??1?3?4，E?134??4．
S?1??S?2??L?S(100)? ；E(1)?E(2)?L?E?100?＝ ．
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】走美杯，5年级，决赛 【解析】 可以换个方向考虑。数字1在个位出现10次，在十位出现10次，在百位出现1次，共21次。数字2到9
中的每一个在个位出现10次，在十位也出现10次，共20次。 所以，1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501； 所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。
【答案】400
模块四、综合型题目
【例 18】 已知：10△3=14， 8△7=2，
31△?1，根据这几个算式找规律，如果 445△x=1，那么x= . 8【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，五年级，决赛
【解析】 规律是 a△b=(a－b)×2, 所以
51?5?△x=??x??2?1，即 x? 88?8?1【答案】
8
【例 19】 如果a、b、c是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即
⑴a?b?b?a；⑵(a?b)?c?a?(b?c)。
现在规定一种运算\，它对于整数 a、 b、c 、d 满足： (a,b)*(c,d)?(a?c?b?d,a?c?b?d)。 例：(4,3)*(7,5)?(4?7?3?5,4?7?3?5)?(43,13) 请你举例说明，\运算是否满足交换律、结合律。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 (2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5)
(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5) 所以“*”满足交换律
[(2,1)* (6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47) (2,1)*[ (6,5)*(4,3)]=(2,1) * (39,9)= (87,69) 所以“*”不满足结合律
【答案】 “*”满足交换律 “*”不满足结合律
8
【例 20】 用?a?表示a的小数部分，?a?表示不超过a的最大整数。例如：
?0.3??0.3,?0.3??0;?4.5??0.5,?4.5??4记f(x)?x?2?，请计算?f2x?1??1??????,?f?3????1??的值。 f?1?????;?f?1??,????3??【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 代入计算结果分别为：0.4，1，0，1 【答案】0.4，1，0，1
【例 21】 在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连的第二分
支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按\中→左→右\的顺序。如：图A表示：2+3， B表示2+3×2－1。图C中表示的式子的运算
结果是________ 。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 “教研龙”认为第2个图最上面的圆圈应该有个2，原题却没有。第3个图从上到下第3行第3个圈为2，
第四个圈为42+[(3+5)÷2]-4=2
【答案】2
【例 22】 64?2?2?2?2?2?2表示成f?64??6;243?3?3?3?3?3表示成g?243??5.
试求下列的值: (1)f?128??
(2)f(16)?g() (3)f()?g(27)?6;
(4)如果x, y分别表示若干个2的数的乘积,试证明:f(x?y)?f(x)?f(y).
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1)f(128)?f27?7;
4??(2)f(16)?f?2??4?g?3??g(81);
(3)因为6?g(27)?6?g?3??6?3?3?f?2??f(8),所以f(8)?g(27)?6;
433(4)略
【答案】(1)7 (2)81 (3)8
(4) 令x?2m,y?2n,则f(x)?m,f(y)?n.
f(x?y)?f2m?2n?f2m?n?m?n?f(x)?f(y).
【例 23】 对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”，规定:x※y=ax?by?cxy,其中的a,b,c表示已知数,等式右边是通
常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是 _________。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 由题设的等式x※y=ax?by?cxy及x※m=x(m≠0),得 a?0?bm?c?0?m?0, 所以bm=0,又m≠0,故b=0.?a?2c?3因此x※y=ax-cxy. 由1※2=3,2※3=4,得?
2a?6c?4?解得a=5,c=1. 所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.
【答案】4
9 ????【巩固】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已
知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，
（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根 据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后， l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.
(1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此 要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值， 通过（2*3）△4=64求出 k的值. 因为1**2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：
?m?2?m?1??m?3 ?，?（舍去） ?2n?2n?1n????3?①当m=1，n=2时： （2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k×8×4=32k 有32k=64，解出k=2. ②当m=3，n=1时： （2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k×9×4=36k
77有36k=64，解出k?1，这与k 是自然数矛盾，因此m=3，n=1，k?1这组值应舍去。
99所以m=l，n=2，k=2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3 =1×4+2×3=10.
【答案】10
【例 24】 对于任意的两个自然数a和b，规定新运算?： a?b?a?(a?1)?(a?2)?L?(a?b?1)，其中a、b表
示自然数.⑴求1?100的值；⑵已知x?10?75，求x为多少？⑶如果（x?3）?2?121，那么x等于几？
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴1?100?1?2?3?4?L?(1?100?1)?5050
⑵x?10?x?(x?1)?(x?2)?(x?3)?L?(x?10?1)?10x?45?75,解得x?3 ⑶方法一：由题中所给定义可知，b为多少，则就有多少个加数．即：60?2?121，则x?3?60；121?60?61，60?19?20?21，即19?3?60,所以x?19．
方法二：可以先将（x?3）看作一个整体y，那么就是y?2?121，y?2?y?(y?1)?121,121?60?61 所以y?60，那么也就有x?3?60，60?19?20?21，即19?3?60，所以x?19．
【答案】19
【巩固】 两个不等的自然数a和b,较大的数除以较小的数,余数记为a☉b,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. （8级） (1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5; (2)已知11☉x=2,而x小于20,求x;
(3)已知(19☉x)☉19=5,而x小于50,求x.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【答案】(1)9；3；1 (2) x=3,9,13. (3) x=12,26,33,45.
ab【例 25】 设a,b是两个非零的数,定义a※b??.
ba(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).
(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
7451201【答案】(1) (2※3)※4?；2※(3※4)?.
312600 (2) a=3
10
小学数学 定义新运算 教师版
