定义新运算
教学目标
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
知识点拨
一 定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6
都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.
二 定义新运算分类
1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合
例题精讲
模块一、直接运算型
【例 1】 若A*B表示?A?3B???A?B?，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。
由 A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312
【答案】312
1 【巩固】 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6△（3△4）
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4
＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
【答案】7
【巩固】 设a△b?a?a?2?b，那么，5△6?______，(5△2) △3?_____.
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 5△6?5?5?2?6?13
5△2?5?5?2?2?21,1△3?21?21?6?435 【答案】435
P?Q【巩固】 ，求3*(6*8) P、Q表示数，P*Q表示
2【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
6?83?7【解析】 3*(6*8)?3*()?3*7??5
22【答案】5
【巩固】 已知a,b是任意自然数,我们规定: a⊕b= a+b-1,a?b?ab?2,那么
4??(6?8)?(3?5)?? . 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式?4?[(6?8?1)?(3?5?2)]?4?[13?13]?4?[13?13?1]?4?25?4?25?2?98 【答案】98
【巩固】 M?N表示(M?N)?2,(2008?2010)?2009?____
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 原式????2008?2010??2??*2009?2009*2009??2009?2009??2?2009
【答案】2009
【巩固】 规定运算“☆”为：若a>b，则a☆b=a＋b；若a=b，则a☆b=a－b＋1；若a ＋（4☆4）＋（7☆5）= 。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 19 【答案】19 【例 2】 “△”是一种新运算，规定：a△b＝a×c＋b×d(其中c，d为常数)，如5△7＝5×c＋7×d。如果1△2＝5，2△3 ＝8，那么6△1OOO的计算结果是________。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 1△2＝1×c＋2×d=5，2△3＝2×c＋3×d=8， 可得c=1,d=2 6△1000＝6×c＋1000×d=2006 【答案】2006 2 【巩固】 对于非零自然数a和b，规定符号?的含义是：a?b＝ m?a?b（m是一个确定的整数）。如果1?4 2?a?b＝2?3，那么3?4等于________。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 根据1?4=2?3，得到【答案】 6?x?y,求2△9。 x?2y【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】北京市 ，迎春杯 6?x?y6?2?92【解析】 根据定义x?y= 于是有2?9??5 x?2y2?2?952【答案】5 5 11【巩固】 “*”表示一种运算符号，它的含义是：x?y? ，已知 ?xy?x?1??y?A?m?1?4m?2?36?3?411，解出m=6。所以，3?4???。 2?1?42?2?32?3?41211 12【例 3】 对于任意的整数x与y定义新运算“△”：x?y= 2?1?112??，求1998?1999。 2?1?2?1??1?A?3【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 12111【解析】 根据题意得??,?,?2?1??1?A??6,A?1 ，所以 ?2?1??1?A?32?2?1??1?A?61998?1999? 39981??1998?1999?200019980001【答案】 1998000 【例 4】 [A]表示自然数A的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算: ([18]?[22])?[7]= . 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为18?2?32有(1?1)?(2?1)?6个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2. 原式?(6?4)?2?5. 【答案】5 【巩固】 x为正数, <<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 . 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 <19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,所以，原 式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11. 【答案】11 【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例 如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= . 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42. 【答案】42 3 11112000?1998????1998?1999?1998?1??1999?1?1998?19991999?20001998?1999?2000【例 5】 我们规定：符号?表示选择两数中较大数的运算，例如：5?3=3?5=5，符号△表示选择两数中较小数 ?1523(0.6?)?(0.625?)2335的结果是多少？ 的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：?3411(0.3?)?(?2.25)996【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 ?15232531(0.6?)?(0.625?)?233538?24?1 【解析】 ??341119312(0.3?)?(?2.25)?99634121【答案】 2 【巩固】 规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]＝6×5＝30 【答案】30 【巩固】 我们规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数。则 ?10△8?6△5???11○13+15△20?= 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】走美杯，3年级，决赛 ?10△8?6○5???11○13+15△20?=?8?6???13?15?=2?28=56 【解析】 根据题目要求计算如下：【答案】56 【例 6】 如果规定a※b =13×a-b ÷8，那么17※24的最后结果是______。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，4年级，1试 17※24=13×17-24÷8=221-3=218 【解析】 【答案】218 【巩固】 若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G（6）=4， 则G(36)+G(42)= 。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所以有 G（36）?G（42）?9?8?17。 【答案】17 【巩固】 如果a&b?a?b?10,那么2&5? 。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，4年级，1试 【解析】 2&5=2+5÷10=2.5 【答案】2.5 【例 7】 “华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为 244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________. 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，六年级，决赛 【答案】254948903981 4 【例 8】 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△ 狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△狼) 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，复赛 【解析】 因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于 狼，所以 原式=狼 【答案】狼 【例 9】 一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗 规定：警察小偷?警察，警察小偷?小偷． 那么：（猎人小兔）（山羊白菜）? ． 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】学而思杯，4年级 【解析】 谁握着枪就留下谁，结果应该是 白菜 【答案】白菜 模块二、反解未知数型 【例 10】 如果a△b表示(a?2)?b,例如3△4?(3?2)?4?4,那么,当a△5=30时, a= . 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 依题意,得(a?2)?5?30,解得a?8. 【答案】8 【巩固】 规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x= . 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为4※1=3?4?2?1?10,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9. 【答案】9 【巩固】 如果a⊙b表示3a?2b,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时, x= 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 根据题意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25, 由5x-25=5,解得x=6. 【答案】6 【巩固】 对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5 ＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。 【答案】6 a?1【例 11】 定义新运算为aeb?，⑴求2e(3e4)的值；⑵若xe4?1.35则x的值为多少？ b【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 3?12?1【解析】 ⑴因为3e4??1，所以2e(3e4)?2e1??3 41x?1⑵xe4??1.35，x?1?4?1.35?5.4,x?4.4，所以x的值为4.4. 4【答案】⑴3 ⑵4.4 5
小学数学 定义新运算 教师版
