【成才之路】高中数学 第3章 3.2第2课时 复数的乘法与除法课
时作业 新人教B版选修2-2
一、选择题
1．(2015·新课标Ⅱ理，2)若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝( ) A．－1 C．1 [答案] B
[解析] 由已知得4a＋(a－4)i＝－4i，所以4a＝0，a－4＝－4，解得a＝0，故选B. 3＋i
2．已知i是虚数单位，则＝( )
1－iA．1－2i C．2＋i [答案] D
[解析] 本题考查复数的四则运算． 3＋i3＋i1＋i2＋4i
＝＝＝1＋2i. 1－i22熟记复数除法法则是解决题目的关键．
3．若复数z满足(2－i)z＝|1＋2i|，则z的虚部为( ) A.5
5
B．
5i 5B．2－i D．1＋2i
2
2
B．0 D．2
C．1 [答案] A
D．i
[解析] 解法1：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(2－i)(a＋bi)＝5， ∴(2a＋b)＋(2b－a)i＝5，
?2a＋b＝5，
由复数相等的条件知?
?2b－a＝0，
25?a＝
?5，∴?
5b＝??5，
∴z的虚部为
5
. 5
解法2：将两边同乘以2＋i得，5z＝5(2＋i)，
1
2555∴z＝＋i，∴z的虚部为.
555|1＋2i|5255
解法3：z＝＝＝＋i，
2－i2－i55∴z的虚部为
5. 5
i
4．复数z＝在复平面上对应的点位于( )
1＋iA．第一象限 C．第三象限 [答案] A i
[解析] z＝＝
1＋i
i1－i1＋i1i
＝＝＋，
1＋i1－i222
B．第二象限 D．第四象限
11
所以复数z对应的点为(，)，在第一象限．
22
5．(2015·湖北理，1)i为虚数单位，i的共轭复数为( ) ．．．．A．i C．1 [答案] A
[解析] 因为i＝1，所以，i＝i确答案选A.
6．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( ) A．－5 C．－4＋i [答案] A
[解析] 本题考查复数的乘法，复数的几何意义． ∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，∴z2＝－2＋i， ∴z1z2＝－1－4＝－5，故选A.
7．已知i为虚数单位，z为复数，下面叙述正确的是( ) －
A．z－z为纯虚数
B．任何数的偶数次幂均为非负数 C．i＋1的共轭复数为i－1 D．2＋3i的虚部为3 [答案] D
[解析] 当z为实数时A错；由i＝－1知B错；由共轭复数的定义知1＋i的共轭复
2
4
607
4×151＋3
607
B．－i D．－1
＝i＝－i，所以i的共轭复数为i.故本题正
3607
B．5 D．－4－i
2
数为1－i，C错，故选D.
8．(2015·安徽理，1)设i是虚数单位，则复数A．第一象限 C．第三象限 [答案] B [解析] 由题意
2i＝1－i
2i1＋i1－i1＋i
＝
－2＋2i
＝－1＋i，其对应的点坐标为(－22i
在复平面内所对应的点位于( ) 1－i
B．第二象限 D．第四象限
1,1)，位于第二象限，故选B.
二、填空题 9．规定运算?________.
[答案] 1－i
?a ?c
b?
? z
＝ad－bc，若??d??－i
i?2?
?＝1－2i，设i为虚数单位，则复数z＝
? z
[解析] 由已知可得?
?－i
＝1－2i，∴z＝1－i.
i?
?＝2z＋i＝2z－1 2?
z1－2i
2
10．(2015·徐州期末)已知复数z满足
2
＝i(i为虚数单位)，若z＝a＋bi(a，
b∈R)，则a＋b＝________.
[答案] 1
[解析] 由题意可得z＝i(1－2i)＝i(1－4－4i)＝i(－3－4i)＝4－3i， 由复数相等可得a＝4且b＝－3， ∴a＋b＝4－3＝1. 三、解答题
11．设复数z满足|z|＝5，且(3＋4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|2z－m|＝52(m∈R)，求z和m的值．
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)， ∵|z|＝5，∴x＋y＝25，
而(3＋4i)z＝(3＋4i)(x＋yi)＝(3x－4y)＋(4x＋3y)i
又∵(3＋4i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上， ∴3x－4y＋4x＋3y＝0，得y＝7x， ∴x＝±
2±72，y＝. 22
2
2
2
3
即z＝±?
?272?
＋i?；2z＝±(1＋7i)．
2??2
2
2
当2z＝1＋7i时，有|1＋7i－m|＝52， 即(1－m)＋7＝50，得m＝0，m＝2.
当2z＝－(1＋7i)时，同理可得m＝0，m＝－2.
一、选择题
－2＋3i
1．在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于( )
3－4iA．第一象限 C．第三象限 [答案] B [解析]
－2＋3i
＝3－4i
－2＋3i
5
3＋4i
＝
－18＋i181－2＋3i
＝－＋i，∴复数对应5553－4iB．第二象限 D．第四象限
的点位于第二象限．
a＋i
2．若复数是纯虚数，则实数a的值为( )
1－2i
A．2 1C. 5[答案] A
1B．－
22D．－
5
a＋ia＋i
[解析] ∵＝
1－2i1－2i1＋2i
＝
1＋2i
a－2＋2a＋1i
5
是纯虚数，∴a＝2.
3．(2015·会宁县期中)定义运算?的复数z为( )
A．3－i C．3＋i [答案] A
?ab??1－1?
?＝ad－bc，则符合条件??＝4＋2i
?cd??zzi?
B．1＋3i D．1－3i
[解析] 根据定义，可知1×zi－(－1)×z＝4＋2i， 即z(1＋i)＝4＋2i， 4＋2i4＋2i
∴z＝＝
1＋i1＋i
1－i6－2i
＝＝3－i.
1－i2
4．设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z·zi＋2＝2z，则z＝( )
4
A．1＋i C．－1＋i [答案] A
B．1－i D．－1－i
[解析] 设z＝x＋yi(x，y∈R)，由z·zi＋2＝2z，得(x＋y)i＋2＝2(x＋yi)＝2x＋2yi，
??x＋y＝2y，∴???2＝2x，
2
2
22
??x＝1，
∴???y＝1.
∴z＝1＋i，故选A.
二、填空题
5．(2015·重庆理，11)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为3，则(a＋bi)(a－bi)＝________. [答案] 3
[解析] 由题易得a＋b＝3，故a＋b＝3；(a＋bi)(a－bi)＝a＋b＝3. 6．关于x的不等式mx－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第________象限．
[答案] 二
[解析] ∵mx－nx＋p>0(m、n、p∈R)的解集为(－1，2)，
2
22
2
2
2
2
2
??∴?
??
m<0
－1＋2＝
nm－1×2＝
pm
，即m<0，p>0.
故复数m＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．
z2－3z＋6
7．已知复数z＝1＋i，则复数的模为______．
z＋1
[答案]
2
2
z2－3z＋61＋i－31＋i＋6
[解析] ＝ z＋11＋i＋1
＝
2i－3－3i＋63－i
＝＝1－i，
2＋i2＋i
故1－i的模为2. 三、解答题
8．已知z是复数，z＋2i、
2
均为实数(i为虚数单位)，且复
2－i
z数(z＋ai)在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． [解析] 设z＝x＋yi (x、y∈R)， z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
5
【人教B版】选修2-2：3.2.2《复数的乘法与除法》课时作业及答案
